Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=4，CD=2，等腰梯形的高為3，O為AB中點，PO⊥平面ABCD，垂足為O，PO=2，EA∥PO．
（1）求證：BD⊥平面EAC；
（2）求二面角E-AC-P的平面角的余弦值．

Answer 1

解：（1）證：如圖，取CD中點M，以AB中點O為坐標原點，OA、OM、OP為x軸、y軸、z軸建立直角坐標系，
則A（2，0，0），B（-2，0，0），C（-1，3，0），D（1，3，0），

∴BD⊥AC、（4分）
∵AE∥PO，PO⊥平面ABCD，∴AE⊥平面ABCD得BD⊥AE，
∴BD⊥平面EAC
（2）P（0，0，2），=（-2，0，2），設(shè)平面PAC的一個法向量，
由得設(shè)x=1得．=（3，3，0）是平面EAC的一個法向量
．故二面角E-AC-P的余弦值．（12分）
分析：（1）欲證BD⊥平面EAC，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證BD與平面EAC內(nèi)兩相交直線垂直，取CD中點M，以AB中點O為坐標原點，OA、OM、OP為x軸、y軸、z軸建立直角坐標系，根據(jù)向量數(shù)量積可知BD⊥AC，而BD⊥AE，滿足定理所需條件；
（2）先求出平面PAC的一個法向量，結(jié)合圖形可知是平面EAC的一個法向量，然后利用向量的夾角公式求出此角的余弦值即為二面角E-AC-P的余弦值．
點評：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、二面角及其平面角等有關(guān)知識，考查空間想象能力和思維能力，應(yīng)用向量知識解決立體幾何問題的能力．