在任意三角形ABC內(nèi)任取一點Q，使S△ABQ≥
1
3
S△ABC的概率于
4
9
4
9
．
分析：設(shè)DE是△ABC平行于AB，且
CD
CA
=
CE
CB
=
1
3
，可得當(dāng)Q點位于△ABC內(nèi)部的線段DE上方時，能使S△ABQ≥
1
3
S△ABC因此所求的概率等于△CDE的面積與△ABC的面積比值，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出這個面積比即可．
解答：解：分別取CA、CB點D、E，且
CD
CA
=
CE
CB
=
1
3
，連接DE
∴DE上一點到AB的距離等于C到AB距離的
1
3
，
設(shè)C到AB的距離為h，則當(dāng)動點P位于線段DE上時，
△QAB的面積S=
1
2
AB•
1
3
h=
1
3
S△ABC=
1
3
S
因此，當(dāng)點Q位于△ABC內(nèi)部，且位于線段DE上方時，△QAB的面積大于
1
3
S．
∵△CDE∽△CAB，且相似比
CD
CA
=
1
3

∴S△CDE：S△ABC=
4
9

由此可得△PAB的面積大于 
1
3
S的概率為P=
4
9
．
故答案為：
4
9
．
點評：本題給出三角形ABC內(nèi)部一點P，求三角形PBC面積大于或等于三角形ABC面積的一半的概率，著重考查了相似三角形的性質(zhì)和幾何概型的計算等知識，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面內(nèi)，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，橢圓的離心率為
3
2
，P點是橢圓上任意一點，且|PF1|+|PF2|=4，
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）以橢圓的上頂點B為直角頂點作橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形ABC，這樣的等腰直角三角形是否存在？若存在請說明有幾個、并求出直角邊所在直線方程？若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•綿陽二模）已知函數(shù)f（x），若對給定的三角形ABC，它的三邊的長a、b、c均在函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)，都有f（a）、f（b）、f（c）也為某三角形的三邊的長，則稱f（x）是△ABC的“三角形函數(shù)”．下面給出四個命題：
①函數(shù)f1（x）=
x
，x∈（0，+∞）是任意三角形的“三角形函數(shù)”；
②若定義在（O，+∞）上的周期函數(shù)f2（x）的值域也是（0，+∞），則f2（x）是任意三角形的“三角形函數(shù)”；
③若函數(shù)f3（x）=x3-3x+m在區(qū)間（
2
3
，
4
3
）上是某三角形的“三角形函數(shù)”，則m的取值范圍是（
62
27
，+∞）
④若a、b、c是銳角△ABC的三邊長，且a、b、c∈N+，則f4（x）=x2+lnx（x＞0）是△ABC的“三角形函數(shù)”．
以上命題正確的有
①④
①④
（寫出所有正確命題的序號）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

在任意三角形ABC內(nèi)任取一點Q，使S△ABQ≥
1
3
S△ABC的概率于______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年福建省福州市八縣（市）一中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題

在任意三角形ABC內(nèi)任取一點Q，使S△ABQ≥S△ABC的概率于    ．

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