Question

12．設f（x）、g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當x＜0時，f'（x）g（x）+f（x）g'（x）＞0，且g（-1）=0，則不等式f（x）g（x）＞0的解集是（　�。�

• A． （-1，0）∪（0，1）
• B． （-∞，1）∪（1，+∞）
• C． （-1，0）∪（1，+∞）
• D． （-∞，-1）∪（0，1）

Answer 1

分析 構造函數(shù)h（x）=f（x）•g（x），根據(jù)導數(shù)和函數(shù)單調性之間的關系，判斷函數(shù)h（x）的單調性，結合函數(shù)的奇偶性的性質即可得到結論．

解答 解：設h（x）=f（x）•g（x），
∵x＜0時，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，
即[f（x）g（x）]′＞0
故h（x）在x＜0時遞增，
∵f（x）、g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，
∴h（x）=f（x）g（x）是R上的奇函數(shù)，
∴h（x）的圖象關于原點對稱，
即h（x）在x＞0時也是增函數(shù)．
∵g（-1）=0，∴g（1）=0，
∴h（-1）=0且h（1）=0，則函數(shù)h（x）對應的草圖為：
則h（x）＞0的解集為：x＞1或-1＜x＜0．
故不等式的解集為{x|x＞1或-1＜x＜0}，
故選：C．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性的應用，以及導數(shù)的運算，不等式的解法等，根據(jù)導數(shù)的正負可以確定函數(shù)的單調性，利用數(shù)形結合的思想進行解題．屬于中檔題．