Question

已知f（x+1）=f（x-1），f（x）=f（-x+2），方程f（x）=0在[0，1]內(nèi)有且只有一個(gè)根x=

1

2

，則f（x）=0在區(qū)間[-1005，1006]內(nèi)根的個(gè)數(shù)為（　�。�

A．2013

B．1006

C．2011

D．1007

Answer 1

分析：由條件推出f（1-x）=f（1+x），進(jìn)而推出f（x）為偶函數(shù)，且f（x）是周期等于2的周期函數(shù)，根據(jù)f（

1

2

）=0求出f（

1

2

）=0，從而得到函數(shù)f（x）在一個(gè)周期[0，2]上有2個(gè)零點(diǎn)，且函數(shù)f（x）在每?jī)蓚�(gè)整數(shù)之間都有一個(gè)零點(diǎn)，從而得到f（x）=0在區(qū)間[-1005，1006]內(nèi)根的個(gè)數(shù)．

解答：解：∵f（x）=f（-x+2），∴f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，即f（1-x）=f（1+x）．
又f（x+1）=f（x-1），∴f（x-1）=f（1-x），即f（x）=f（-x），故函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．
再由f（x+1）=f（x-1），令x+1=t，則有f（t）=f（t+2），
從而可得f（x+2）=f（x），故函數(shù)f（x）是周期等于2的周期函數(shù)．
由于f（

1

2

）=0，∴f（-

1

2

）=0，
∴f（

3

2

）=f（2-

3

2

）=f（

1

2

）=0，
故函數(shù)f（x）在一個(gè)周期[0，2]上有2個(gè)零點(diǎn)，且函數(shù)f（x）在每?jī)蓚�(gè)整數(shù)之間都有一個(gè)零點(diǎn)，
f（x）=0在區(qū)間[-1005，1006]內(nèi)根的個(gè)數(shù)為2011，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查方程的根的存在性及個(gè)數(shù)判斷，函數(shù)的奇偶性與周期性的應(yīng)用，抽象函數(shù)的應(yīng)用，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．