Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°．

（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若PA＝AB，求PB與AC所成角的余弦值；

（Ⅲ）當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時(shí)，求PA的長(zhǎng)．

 

 

 

Answer 1

【答案】

（I）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形， 所以AC⊥BD．

又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，     所以PA⊥BD，

所以BD⊥平面PAC．                                  ……………4分

（Ⅱ）設(shè)AC∩BD＝O． 因?yàn)椤螧AD＝60°，PA＝AB＝2， 所以BO＝1，AO＝CO＝．

如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OC所在直線及過(guò)點(diǎn)O且與PA平行的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，則

P（0，－，2），A（0，－，0），B（1,0,0），C（0，，0）．

所以＝（1，，－2），＝（0,2，0）．

設(shè)PB與AC所成角為θ，

（Ⅲ）由（Ⅱ）知＝（－1，，0）．

設(shè)P（0，－，t） （t ＞0），則＝（－1，－，t）．

設(shè)平面PBC的法向量m＝（x，y，z）， 則·m＝0，·m＝0．

令y＝，則x＝3，z＝，    所以m＝．

同理，可求得平面PDC的法向量n＝．

因?yàn)槠矫鍼BC⊥平面PDC， 所以m·n＝0，即－6＋＝0． 解得t＝．

所以當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時(shí)，PA＝．

 

 

【解析】略