Question

已知橢圓C1：和動圓C2：，直線與C1和C2分別有唯一的公共點A和B．

（I）求的取值范圍；

（II ）求|AB|的最大值，并求此時圓C2的方程．

 

Answer 1

（Ⅰ）[1，2）（Ⅱ）1，x2+y2=2

【解析】

試題分析：（Ⅰ）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去整理成關于的一元二次方程，因為直線與橢圓只有一個公共點，則判別式為0，列出關于m，k的方程，再由直線與圓只有一個公共點知，直線與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑找出r,m,k關系，將這兩個關于m,k的方程聯(lián)立，消去m，將r表示成k的函數(shù)，利用函數(shù)求值域的方法，求出r范圍；（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得A,B兩點的橫坐標，利用弦長公式將AB用r表示出來，利用函數(shù)求最值的方法，求出|AB|的最大值及取最大值時的r值，從而寫出圓的方程.

試題解析：（Ⅰ）由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．

由于l與C1有唯一的公共點A，故△1=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）=0， 2分

從而m2=1+4k2 ①

由，得（1+k2）x2+2kmx+m2﹣r2=0．

由于l與C2有唯一的公共點B，故△2=4k2m2﹣4（1+k2）（m2﹣r2）=0， 4分

從而m2=r2（1+k2） ②

由①、②得k2=．

由k2≥0，得1≤r2＜4，所以r的取值范圍是[1，2）． 6分

（Ⅱ）設A（x1，y1），B（x2，y2），由（Ⅰ）的解答可知

x1=﹣=﹣，x2=﹣=﹣．

|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=（1+k2）•=•k2•（4﹣r2）2

=•（4﹣r2）2=， 9分

所以|AB|2=5﹣（r2+）（1≤r＜2）．

因為r2+≥2×2=4，當且僅當r=時取等號，

所以當r=時，|AB|取最大值1，此時C2的方程為x2+y2=2． 12分

考點：直線與橢圓的位置關系，直線與圓的位置關系，最值問題，轉化與化歸思想，運算求解能力