Question

設函數(shù)f（x）=x³+x，x∈R
（1）用單調(diào)性的定義證明f（x）是R上的增函數(shù)．
（2）設a，b，c∈R，a+b＞0，b+c＞0，c+a＞0，求證：f（a）+f（b）+f（c）＞0．

Answer 1

解：（1）設任意實數(shù)x₁、x₂滿足x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=x₁³+x₁-（x₂³+x₂）
=（x₁³-x₂³）+（x₁-x₂）=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²）+（x₁-x₂）
=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²+1）=（x₁-x₂）[（x₁+x₂）²+x₂²+1]
∵x₁＜x₂，（x₁+x₂）²+x₂²+1≥1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0得f（x₁）＜f（x₂）
所以函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)．
（2）∵f（-x）=-x³-x=-（x³+x）=-f（x），
∴f（x）是R上的奇函數(shù)
∵a+b＞0，得a＞-b，且f（x）是R上的增函數(shù)，
∴f（a）＞f（-b），可得f（a）＞-f（b），即f（a）+f（b）＞0
同理可得f（b）+f（c）＞0，f（c）+f（a）＞0
將以上三個不等式相加，可得2[f（a）+f（b）+f（c）]＞0
∴f（a）+f（b）+f（c）＞0，不等式成立
分析：（1）設R上任意實數(shù)x₁、x₂滿足x₁＜x₂，將f（x₁）-f（x₂）因式分解，得f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）[（x₁+x₂）²+x₂²+1]＜0恒成立，因此得到函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)．
（2）利用f（x）的單調(diào)性，證出f（a）＞f（-b），結合函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，可得f（a）＞-f（b），即f（a）+f（b）＞0，同理得到f（b）+f（c）＞0，f（c）+f（a）＞0，最后將所得三個不等式相加，即得f（a）+f（b）+f（c）＞0．
點評：本題給出三次多項式函數(shù)為奇函數(shù)，求證函數(shù)的單調(diào)性并證明不等式恒成立，主要考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性、不等式的證明等知識，屬于中檔題．