Question

如圖，已知拋物線x²=4y上兩定點A，B分別在對稱軸左、右兩側(cè)，F(xiàn)為拋物線的焦點，且|AF|=2，|BF|=5．
（1）求A，B兩點的坐標；
（2）在拋物線的AOB一段上求一點P，使△ABP的面積S最大，并求這個最大面積．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由條件求出交點坐標和準線方程，再根據(jù)拋物線的定義和條件求得點A、B的坐標；
（2）由兩點間距離公式求出|AB|，再求出直線AB的方程，欲求△PAB的面積最大值可轉(zhuǎn)化為求點P到直線AB的距離的最大值，設(shè)出點P的坐標，由點到直線的距離公式建立起點P到直線AB的距離的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)的知識求出最值即可．

解答： 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由題意得，拋物線的方程為：x²=4y，
則焦點坐標F（0，1），準線方程為y=-1，
由拋物線的定義得，|AF|=y₁+1，且|BF|=y₂+1
因為|AF|=2，|BF|=5，
所以y₁=1，y₂=4，代入x²=4y求得x₁=±2，x₂=±4，
又A，B分別在對稱軸左、右兩側(cè)，所以x₁=-2，x₂=4，
所以A（-2，1），B（4，4），
（2）由（1）得，A（-2，1），B（4，4），
則|AB|=

(4+2)2+(4-1)2

=3

5

，
直線AB的方程為y-1=

1

2

（x+2），即x-2y+4=0，
設(shè)在拋物線AOB這段曲線上任一點P（x₀，y₀），且-2≤x₀≤4，1≤y₀≤4．
則點P到直線AB的距離d=

|x0-2y0+4|

1+4

=

|x0-2× x02 4 +4|

5

=

| 1 2 (x0-1)2- 9 2 |

5

，
所以當x₀=1時，d取最大值

9 2

5

=

9 5

10

，
所以△PAB的面積最大值為Smax=

1

2

×3

5

×

9 5

10

=

27

4

．

點評：本題考查拋物線的方程、定義，兩點間距離公式、點到直線的距離公式、直線方程，二次函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想．