Question

已知函數(shù)f(x)=

3

sinx-cosx，x∈[

π

2

，π]．
（1）若sinx=

4

5

，求函數(shù)f（x）的值；
（2）求函數(shù)f（x）的最小值并求相應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)x∈[

π

2

，π]，我們結(jié)合若sinx=

4

5

，我們易求出X的余弦值，代入函數(shù)f(x)=

3

sinx-cosx，即可得到答案．
（2）根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，利用輔助角公式，我們可將函數(shù)化為正弦型函數(shù)，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合x∈[

π

2

，π]，我們易得到函數(shù)f（x）的值；

解答：解：（1）∵sinx=

4

5

，x∈[

π

2

，π]，
∴cosx=-

3

5

，
∵f(x)=

3

sinx-cosx
∴f(x)=

4 3 +3

5

．（6分）
（2）∵f(x)=

3

sinx-cosx=2(

3

2

sinx-

1

2

cosx)=2sin(x-

π

6

)
∵x∈[

π

2

，π]，∴

π

3

≤x-

π

6

≤

5π

6

，
∴當(dāng)x-

π

6

=

5π

6

，即x=π時，f（x）取得最小值1．（12分）．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)三角函數(shù)的最值，同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，其中要注意x∈[

π

2

，π]的限制，這是本題的易忽略點(diǎn)．