Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2，n∈N^*），a₁=．
（Ⅰ）求證：{}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）若b_n=2（1-n）a_n（n≥2，n∈N^*），求證：b₂²+b₃²+…+b_n²＜1．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）a_n+2S_n•S_n-1=0整理得判斷出{}是等差數(shù)列．
（Ⅱ）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，則S_n可得．進(jìn)而根據(jù)a_n=S_n-S_n-1求得n≥2時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得a₁，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可得．
（Ⅲ）把（Ⅱ）中的a_n代入b_n=2（1-n）a_n中求得，進(jìn)而利用裂項(xiàng)法求得答案．
解答：解：（Ⅰ）由a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2，n∈N^*），得S_n-S_n-1+2S_n•S_n-1=0，
所以，故{}是等差數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
所以．
所以
（Ⅲ）
所以
b₂²+b₃²++b_n²．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和等差關(guān)系的確定．對(duì)于數(shù)列求和問(wèn)題，應(yīng)注意掌握裂項(xiàng)法、錯(cuò)位相減、疊加法等方法．