Question

已知m，n∈R，且m+2n=2，則m•2^m+n•2²ⁿ⁺¹的最小值為_(kāi)_____．

Answer 1

∵2n=2-m
∴f（m）=m•2^m+n•2²ⁿ⁺¹=m•2^m+（2-m）•2^2-m
令g（m）=m•2^m，h（m）=（2-m）•2^2-m
當(dāng)m≤0時(shí)，h（m）為增函數(shù)，且h（m）≥h（0）=8
g（m）=-|m|•2^-|m|由于從y=x與y=2^x的圖象易知，|m|≤2^|m|，所以|m|•2^-|m|≤1，
g（m）=-|m|•2^-|m|≥-1
f（m）=g（m）+h（m）≥-1+8=7
當(dāng)m≥2時(shí)，由g（m）與h（m）關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)，同上可得f（m）≥7
當(dāng) 0＜m＜2時(shí)，g（0）=h（2）=0，g（2）=h（0）=8
g'（m）=（mln2+1）2^m＞0，h'（m）=-[（2-m）ln2+1]2^2-m＜0 且g'（m），h'（m）均為單調(diào)遞增
當(dāng)0＜m＜1時(shí)，g'（m）＜g'（1）=2（ln2+1），h'（m）＜h（1）=-2（2ln2+1），
f′（m）=g'（m）+h'（m）＜0單調(diào)遞減
當(dāng)1≤m＜2時(shí)，同理，可得f′（m）=g'（m）+h'（m）≥g'（1）+h'（1）=0單調(diào)遞增（當(dāng)m=1時(shí)等號(hào)成立）
所以當(dāng)m=1時(shí)，f（m）取最小值，
即當(dāng)m=1，n=

1

2

時(shí)，m•2^m+n•2²ⁿ⁺¹的最小值為4
故答案為：4