二次函數(shù)f（x）的二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，且對任意實(shí)數(shù)x，恒有f（x）=f（4-x），若f（1-3x2）＜f（1+x+x2），則x的取值范圍是________．

（-∞，-）∪（0，+∞）
分析：由已知中，二次函數(shù)f（x）的二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，且對任意實(shí)數(shù)x，恒有f（x）=f（4-x），我們易判斷出二次函數(shù)圖象的形狀，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，我們可以將f（1-3x2）＜f（1+x+x2）轉(zhuǎn)化為一個絕對值不等式，解不等式即可得到答案．
解答：∵對任意實(shí)數(shù)x，恒有f（x）=f（4-x），
則x=2是函數(shù)f（x）的對稱軸，
又由二次函數(shù)f（x）的二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，
故函數(shù)的開口方向朝下
則f（1-3x2）＜f（1+x+x2），可轉(zhuǎn)化為
|2-（1-3x2）|＞|2-（1+x+x2）|
即|3x2+1|＞|-1+x+x2|
解得x∈（-∞，-）∪（0，+∞）
故答案為：（-∞，-）∪（0，+∞）．
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次不等式的解法，其中根據(jù)二次函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而將不等式轉(zhuǎn)化為一個一元二次不等式是解答本題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）的二次項(xiàng)系數(shù)為a，且不等式f（x）＞2x的解集為（-1，3）．
（1）若函數(shù)g（x）=x，f（x）在區(qū)間（-∞，
a3
）內(nèi)單調(diào)遞減，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=-1時，證明方程f（x）=2x3-1僅有一個實(shí)數(shù)根．
（3）當(dāng)x∈[0，1]時，試討論|f（x）+（2a-1）x+3a+1|≤3成立的充要條件．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）的二次項(xiàng)系數(shù)為a，且不等式f（x）＞-4x的解集為（1，3），若f（x）的最大值大于-3，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）的二次項(xiàng)系數(shù)為a，且不等式f（x）＞-2x的解集為（1，3）．
（1）若方程f（x）=0的兩根一個大于-3，另一個小于-3，求a的取值范圍；
（2）若方程f（x）+6a=0有兩個相等的實(shí)根，求f（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：四川省月考題 題型：解答題

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx的圖象過點(diǎn)（﹣4n，0），且f′（0）=2n（n∈N*）。
（1）求f（x）的解析式；
（2）若數(shù)列{an}滿足，且a1=4，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）對于（2）中的數(shù)列{an}，求證：＜5。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年江西省贛南師院附中高三（下）第六次月考數(shù)學(xué)試卷（實(shí)驗(yàn)班）（解析版） 題型：解答題

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx的圖象過點(diǎn)（-4n，0），且f′（0）=2n（n∈N*）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若數(shù)列{an}滿足，且a1=4，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）對于（2）中的數(shù)列{an}，求證：＜5．

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