Question

已知函數(shù)（a＞0，c∈R）為奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）的最小值為2．
（I）求函數(shù)的解析式
（Ⅱ）若a+b=1，a、b∈R⁺，求證：
（Ⅲ） 若g（x）=f（x）-x，n∈N^*且n≥2，求證：．

Answer 1

解：（I）由函數(shù)（a＞0，c∈R）為奇函數(shù)，
可得f（-x）==-f（x）=-
∴-x+c=-x-c
∴c=0
∴
再由x＞0時(shí)，≥，
∵f（x）的最小值為2，得2=2，?a=1，
故（x≠0）…（4分）
（Ⅱ）欲證原不等式成立，
需證：．
因?yàn)?a+b=1，即證：，
再由a+b=1，a、b∈R⁺，，故，
令t=ab，考察函數(shù)y=t+，它在區(qū)間（0，]上是單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)t=時(shí)，y=，
∴，
從而原不等式成立．…（8分）
（學(xué)生用其它方法參照給分）
（Ⅲ），需證：
一方面：

…（10分）
另一方面：
綜上．
…（14分）
分析：（I）先根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)即f（-x）=-f（x）求得c=0，進(jìn)而根據(jù)均值不等式求得函數(shù)f（x）的最小值的表達(dá)式，結(jié)果為2求得a，進(jìn)而求得函數(shù)f（x）的解析式；
（II）利用分析法進(jìn)行證明．欲證原不等式成立，只需證：．因?yàn)?a+b=1，即證：，令t=ab，考察函數(shù)y=t+，結(jié)合此函數(shù)在區(qū)間（0，]上是單調(diào)減函數(shù)即得；
（III）用分析法證明．分析得出只需證：，下面從而左右兩個(gè)方面進(jìn)行證明即可．
點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，均值不等式的應(yīng)用，不等式的證明及函數(shù)的單調(diào)性．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．