Question

8．已知函數(shù)f（x）=x-2lnx．
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程；
（2）求出導(dǎo)數(shù)為0的x的值，求出單調(diào)區(qū)間，由極值的定義，即可得到所求極值．

解答 解：（1）依題意得，f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），$f'（x）=1-\frac{2}{x}$．
所以，曲線y=f（x）在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線斜率k=f'（1）=-1．
又因?yàn)閒（1）=1-2ln1=1，
所以所求切線方程為y-1=-（x-1），即x+y-2=0．
（2）令f'（x）=0，得x=2．
列表：

x	（0，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	-		+
f（x）	↘	極小值	↗

由上表可知，f（x）有極小值f（2）=2-2ln2，無(wú)極大值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．