Question

如圖：在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10．點(diǎn)E在下底邊BC上，點(diǎn)F在腰AB上．

①、則梯形的高是     ；
②、若EF平分等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)，設(shè)BE長(zhǎng)為，試用含的代數(shù)式表示△BEF的面積；
③、是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在，求出此BE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
④、是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)分成1︰2的兩部分？若存在，求此時(shí)BE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

①4；②；③存在，7；④存在，

試題分析：①過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可求得BH的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理求解即可；
②根據(jù)題意畫出BE的高FM，然后，推出梯形周長(zhǎng)的一半（即12），即可知BF=12x，通過(guò)求證△FBM∽△ABH，即可推出高FM關(guān)于x的表達(dá)式，最后根據(jù)三角形的面積公式，即可表示出△BEF的面積；
③通過(guò)計(jì)算等腰梯形的面積，即可推出其一半的值，然后結(jié)合結(jié)論（2）即可推出結(jié)論；
④首先提出假設(shè)成立，然后，分情況進(jìn)行討論，①若當(dāng)BE+BF=8，△BEF的面積=，根據(jù)題意列出方程，求出x；②若當(dāng)BE+BF=16，△BEF的面積=時(shí)，根據(jù)題意列出方程，求出x，最后即可確定假設(shè)不成立，即可推出結(jié)論．
試題解析：①過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H
∵等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10，
∴BH=（BCAD）÷2=3，
∴，即梯形的高為4；
②過(guò)點(diǎn)F作FM⊥BC于點(diǎn)M

∵等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10，
∴等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)=24，
∵EF平分等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)，
∴BF+BE=12，
∵BE=x，
∴BF=12x，
∵FM∥AH，
∴△FBM∽△ABH，
∴BF：AB=FM：AH，
∴，
∴，
∴△BEF的面積；
③假設(shè)線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分．
∵等腰梯形ABCD中，AH=4，AD=4，BC=10，
∴等腰梯形ABCD面積的一半=4（4+10）÷2÷2=14，
∵當(dāng)線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)平分時(shí)，△BEF的面積關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為，
∴，
∴整理方程得：，
∵，
解方程得：，
∵當(dāng)時(shí)，，
∴，不符合題意，舍去，
∴當(dāng)BE=7時(shí)，線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分；
④假設(shè)存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)分成1：2的兩部分．
∵等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)=24，等腰梯形ABCD的面積=28，
則①若當(dāng)BE+BF=8，△BEF的面積=，
∵BE=x，
∴BF=8x，
∵FM∥AH，
∴△FBM∽△ABH，
∴BF：AB=FM：AH，
∴，
∴，
∴△BEF的面積，
當(dāng)時(shí)，
∴，
整理方程得：，
∵
∴故方程無(wú)實(shí)數(shù)解，
∴此種情況不存在；
②若當(dāng)BE+BF=16，△BEF的面積=時(shí)，
∴，
∴△BEF的面積，
∴，
整理方程得：，，
解方程得：，（舍去），
∴當(dāng)時(shí)，線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)分成1：2的兩部分．