如圖,四面體ABCD中,O、E分別是BD、BC的中點
(I)求證:平面BCD;
(II)求異面直線AB與CD所成角的余弦值;
(III)求點E到平面ACD的距離。
(I)證明:見解析;(II)(III)點E到平面ACD的距離為
解析試題分析:(I)欲證AO⊥平面BCD,根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證AO與平面BCD內兩相交直線垂直,而CO⊥BD,AO⊥OC,BD∩OC=O,滿足定理;
(II)以O為原點,OB為x軸,OC為y軸,OA為z軸,建立空間直角坐標系,異面直線AB與CD的向量坐標,求出兩向量的夾角即可;
(III)求出平面ACD的法向量,點E到平面ACD的距離轉化成向量EC在平面ACD法向量上的投影即可.
解:(I)證明:連結OC
在中,由已知可得
而 即
平面
(II)解:取AC的中點M,連結OM、ME、OE,由E為BC的中點知
直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角
在中,
是直角斜邊AC上的中線,
(III)解:設點E到平面ACD的距離為
在中,
而
點E到平面ACD的距離為
考點:本題主要考查了直線與平面的位置關系、異面直線所成的角以及點到平面的距離基本知識,考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力.
點評:解決該試題的關鍵是能對于空間中點線面的位置關系的研究,既可以運用幾何方法來證明,也可以建立直角坐標系,借助于向量來得到。
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本題滿分12分)如圖,已知四棱錐P—ABCD中,底面ABCD為菱形,PA平面ABCD,,BC=1,E為CD的中點,PC與平面ABCD成角。
(1)求證:平面EPB平面PBA;(2)求二面角P-BD-A 的余弦值
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本題滿分12分)
如圖,在四棱錐中,底面為平行四邊形,平面,在棱上.
(I)當時,求證平面
(II)當二面角的大小為時,求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分10分)已知:四邊形ABCD是空間四邊形,E, H分別是邊AB,AD的中點,F(xiàn), G分別是邊CB,CD上的點,且.
求證:(1)四邊形EFGH是梯形;
(2)FE和GH的交點在直線AC上 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本題滿分13分)
如圖,棱錐P—ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,BD=.
(1)求證:BD⊥平面PAC;
(2)求二面角P—CD—B余弦值的大小
(3)求點C到平面PBD的距離.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖,直三棱柱ABC?A1B1C1中, AC= BC=AA1,D是棱AA1的中點,DC1⊥BD.
(Ⅰ)證明:DC1⊥BC;
(Ⅱ)求二面角A1?BD?C1的大。
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