Question

3．在公差不為零的等差數(shù)列{a_n}中，已知a₁=1，且a₁，a₂，a₅依次成等比數(shù)列．?dāng)?shù)列{b_n}滿足b_n+1=2b_n-1，且b₁=3．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n（b_n-1）}的前n項(xiàng)和為S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）利用錯(cuò)位相減法、等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d≠0，∵a₁，a₂，a₅依次成等比數(shù)列．
∴${a}_{2}^{2}$=a₁a₅即（1+d）²=1×（1+4d），d≠0，解得d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
數(shù)列{b_n}滿足b_n+1=2b_n-1，且b₁=3．
變形為：b_n+1-1=2（b_n-1），
∴數(shù)列{b_n-1}是等比數(shù)列，首項(xiàng)與公比都為2．
b_n-1=2ⁿ，可得b_n=2ⁿ+1．
∴a_n=2n-1，${b_n}={2^n}+1$．
（2）a_n（b_n-1）=（2n-1）•2ⁿ．
數(shù)列{a_n（b_n-1）}的前n項(xiàng)和為S_n=2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ．
2S_n=2²+3×2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹．
∴-S_n=2+2（2²+3²+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=-2+2×$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-（2n-1）•2ⁿ⁺¹．
可得：${S_n}=（2n-3）•{2^{n+1}}+6$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了錯(cuò)位相減法、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．