Question

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c若2acosB=c，則-1+2cos2

A

2

+sinB的取值范圍是  （　�。�

• A．[-

  2

  ，

  2

  ]
• B．(-1 ，

  2

  ]
• C．(1 ，

  2

  ]
• D．[1 ，

  2

  ]

Answer 1

分析：利用余弦定理表示出cosB，代入已知的等式化簡，可得出a=b，根據(jù)等邊對等角可得A=B，然后把所求式子的第二項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，將其中的A換為B，提取

2

，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由2acosB=c分離出cosB，根據(jù)a與c都大于0，可得出cosB大于0，再由B為三角形的內(nèi)角，得出B的范圍，進(jìn)而得到這個(gè)角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到此時(shí)正弦函數(shù)的值域，即可得到所求式子的取值范圍．

解答：解：由余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

，
代入2acosB=c得：a²+c²-b²=c²，即a²=b²，
可得：a=b，即A=B，
則1+2cos2

A

2

+sinB=cosA+sinB=sinB+cosB=

2

sin（B+

π

4

），
∵2acosB=c，即cosB=

c

2a

＞0，
∴B∈（0，

π

2

），
∴B+

π

4

∈（

π

4

，

3π

4

），
∴

2

2

＜sin（B+

π

4

）≤1，即1＜sin（B+

π

4

）≤

2

，
則-1+2cos2

A

2

+sinB的取值范圍是（1，

2

]．
故選C

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．