Question

5．在德國不萊梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商場櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第一堆只有一層，就一個(gè)乒乓球；第2、3、4、…堆最底層（第一層）分別按圖所示方式固定擺放．從第一層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個(gè)乒乓球，以f（n）表示第n堆的乒乓球總數(shù)，則f（3）=10；f（n）=$\frac{1}{6}$n（n+1）（n+2）（答案用n表示）．

Answer 1

分析 觀察圖形，結(jié)合已知可得f（1）=1，f（2）=4，f（3）=10，由圖中的規(guī)律可得f（n）-f（n-1）=（1+2+3+…+n）從而可得f（n）=f（1）+[f（2）-f（1）]+[f（3）-f（2）]+…+[f（n）-f（n-1）]代入可求．

解答 解：由題意知，f（1）=1，f（2）=1+1+2，f（3）=1+1+2+1+2+3=10，…，
f（n）=1+1+2+1+2+3+…+1+2+3+…+n，
分析可得：f（n）-f（n-1）=1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{n}{2}$；
f（n）=[f（n）-f（n-1）]+[f（n-1）-f（n-2）]+[f（n-2）-f（n-3）]+…+f（2）-f（1）+f（1）
=$\frac{1}{2}$（1²+2²+3²+…+n²）=$\frac{1}{12}$n（n+1）（2n+1）+$\frac{1}{4}$n（n+1）=$\frac{1}{6}$n（n+1）（n+2）．
故答案為：10，$\frac{1}{6}$n（n+1）（n+2）．

點(diǎn)評 本題主要考查數(shù)列求和在實(shí)際中的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是先由f（1）、f（2）、f（3）的值通過歸納推理得到f（n）的表達(dá)式．