Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=2a_n+（-1）ⁿ，n≥1．
（1）寫出數(shù)列{a_n}的前三項(xiàng)a₁，a₂，a₃；
（2）試判斷數(shù)列{an+

2

3

(-1)n}是否為等比數(shù)列，如果是，求出{an+

2

3

(-1)n}的通項(xiàng)公式；如果不是，請說明理由；
（3）證明：對任意的整數(shù)m＞4，有

1

a4

+

1

a5

+…+

1

am

＜

7

8

．

Answer 1

分析：（1）是考查已知遞推公式求前幾項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題，需注意的是S₁=a₁，需要先求出a₁才能求出a₂，這是遞推公式的特點(diǎn)．
（2）由已知化簡得，a_n=2a_n-1+2（-1）^n-1，進(jìn)而可變?yōu)?span id="nppdzvv" class="MathJye">an+

2

3

•(-1)n=2[a_n-1+

2

3

•(-1)n-1]，利用等比數(shù)列的定義可作出判斷；
（3）的解答需要在代換后，適當(dāng)?shù)淖冃�，利用不等式放縮法進(jìn)行放縮．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，有：S₁=a₁=2a₁+（-1）⇒a₁=1；
當(dāng)n=2時(shí)，有：S₂=a₁+a₂=2a₂+（-1）²⇒a₂=0；
當(dāng)n=3時(shí)，有：S₃=a₁+a₂+a₃=2a₃+（-1）³⇒a₃=2；
綜上可知a₁=1，a₂=0，a₃=2；
（2）{an+

2

3

(-1)n}是等比數(shù)列，理由如下：
由已知得：a_n=S_n-S_n-1=2a_n+（-1）ⁿ-2a_n-1-（-1）^n-1
化簡得：a_n=2a_n-1+2（-1）^n-1
上式可化為：an+

2

3

•(-1)n=2[a_n-1+

2

3

•(-1)n-1]
故數(shù)列{an+

2

3

(-1)n}是以a1+

2

3

•(-1)¹=

1

3

為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列．
（3）由（2）可知：an=

2

3

[2n-2-(-1)n]，
所以

1

a4

+

1

a5

+…+

1

am

=

3

2

[

1

22-1

+

1

23+1

+…+

1

2m-2-(-1)m

]
=

3

2

[

1

3

+

1

9

+

1

15

+

1

33

+

1

63

+…+

1

2m-2-(-1)m

]
=

1

2

[1+

1

3

+

1

5

+

1

11

+

1

21

+…]
＜

1

2

（1+

1

3

+

1

5

+

1

10

+

1

20

+…）
=

1

2

[

4

3

+

1 5 (1- 1 2m-5 )

1- 1 2

]=

1

2

[

4

3

+

2

5

-

2

5

•

1

2m-5

]
=

13

15

-

1

5

•(

1

2

)m-5＜

13

15

=

104

120

＜

105

120

=

7

8

．

點(diǎn)評：本題考查的遞推數(shù)列較為典型，對數(shù)列有關(guān)公式的應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn)，要能熟練的應(yīng)用．（3）中不等式證明中的放縮是一個(gè)難點(diǎn)，需要有扎實(shí)的基本功及一定的運(yùn)算能力，對運(yùn)算放縮能力要求較高．