Question

如圖，一塊礦石晶體的形狀為四棱柱，底面ABCD是正方形，CC₁=3，CD=2，且∠C₁CB=∠C₁CD=60°．
（1）設(shè)，試用表示；
（2）O為四棱柱的中心，求CO的長(zhǎng)；
（3）求證：A₁C⊥BD．

Answer 1

解：（1）由，得．
所以，．
（2）O為四棱柱的中心，即O為線段A₁C的中點(diǎn)．
由已知條件，得，，，，．
根據(jù)向量加減法得，.
=2²+2²+3²+0+2×3×2×cos60°+2×3×2×cos60°=29．
∴A₁C的長(zhǎng)為．
所以．
（3）∵
=2²+2×3×cos60°-2²-2×3×cos60°=0，
∴CA₁⊥BD．
分析：（1）利用空間向量的加法，可得平行六面體的體對(duì)角線，可得，再利用與互為相反向量，就可求出．
（2）因?yàn)镺為四棱柱的中心，所以O(shè)為線段A₁C的中點(diǎn)，所以要求CO的長(zhǎng)，只需求出A₁C的長(zhǎng)即可．利用（1）中所求
，再求模即可．
（3）要證A₁C⊥BD，只需證明=0，即可，根據(jù)，，也即是證明=0，再用已知計(jì)算即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了用空間向量判斷幾何中的位置關(guān)系．注意和平面向量知識(shí)相聯(lián)系．