Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABCD為平行四邊形，且BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M為PB的中點(diǎn)，PA=AD=2．
（Ⅰ）求證：PD∥平面AMC；
（Ⅱ）若AB=1，求二面角B-AC-M的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接BD，交AC于O，連接OM，利用三角形中位線性質(zhì)，證明OM∥PD，即可證明PD∥平面AMC；
（Ⅱ）取AB中點(diǎn)N，作NE⊥AC，垂足為E，連接ME，證明∠MEN為二面角B-AC-M的平面角，即可求得二面角B-AC-M的余弦值．

解答：（Ⅰ）證明：連接BD，交AC于O，連接OM
∵ABCD是平行四邊形，∴O是BD的中點(diǎn)
∵M(jìn)是BP的中點(diǎn)，∴OM∥PD
∵OM?平面AMC，PD?平面AMC
∴PD∥平面AMC；
（Ⅱ）解：取AB中點(diǎn)N，作NE⊥AC，垂足為E，連接ME
∵BC⊥平面PAB，∴BC⊥AB，BC⊥PA
∵PA⊥AB，AB∩BC=B
∴PA⊥平面ABCD
∵M(jìn)為PB的中點(diǎn)，N為AB的中點(diǎn)，
∴MN∥PA
∴MN⊥平面ABCD
∵NE⊥AC，∴ME⊥AC，
∴∠MEN為二面角B-AC-M的平面角
∵BC=2，AB=1，∴AC=

5

∵△ABC∽△AEN，∴NE=

5

5

∵M(jìn)N=1，∴ME=

1+ 1 5

=

30

5

∴二面角B-AC-M的余弦值為

NE

ME

=

5 5

30 5

=

6

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，考查面面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．