Question

（2010•武漢模擬）已知函數(shù)f（x）=x（x²-a），（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若過點(diǎn)P（1，-2）可以向y=f（x）作兩條切線，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）欲求f（x）的單調(diào)區(qū)間，只需求f'（x）＞0與f'（x）＜0的解集，本題需對(duì)a的正負(fù)進(jìn)行分類討論；
（2）設(shè)過P（1，-2）向y=f（x）作切線于切點(diǎn)（x₀，y₀），然后求出切線方程，將點(diǎn)P坐標(biāo)代入得到關(guān)于x₀的三次方程即2x₀³-3x₀²+a-2=0有兩個(gè)不等的實(shí)根，令g（x）=2x³-3x²+a-2，然后利用導(dǎo)數(shù)研究極值，根據(jù)方程g（x）=0有三個(gè)實(shí)根，其中兩個(gè)根是等根建立等式關(guān)系，解之即可．

解答：解：（1）由f（x）=x³-ax求導(dǎo)數(shù)得到f'（x）=3x²-a．
（i）當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）≥0，則f（x）在R上單增．
（ii）當(dāng)a＞0時(shí)，f′(x)=3(x-

a 3

)(x+

a 3

)．
則f(x)在[

a 3

，+∞)和(-∞，-

a 3

]上單調(diào)遞增；
在[-

a 3

，+

a 3

]上單調(diào)遞減．…（5分）
（2）設(shè)過P（1，-2）向y=f（x）作切線于切點(diǎn)（x₀，y₀），
則y-y₀=（3x₀²-a）（x-x₀），即y=（3x₀²-a）x-2x₀³
則y=（3x₀²-a）x-2x₀³過P（1，-2），
∴-2=3x₀²-a-2x₀³，即2x₀³-3x₀²+a-2=0．
由題意知關(guān)于x₀的方程
2x₀³-3x₀²+a-2=0有兩個(gè)不等的實(shí)根．
令g（x）=2x³-3x²+a-2，
則g'（x）=6x²-6x=6x（x-1）．
于是g（x）_極小=g（1）=a-3，
g（x）_極大=g（0）=a-2．
方程g（x）=0有三個(gè)實(shí)根，其中兩個(gè)根是等根．
∴

g(1)=a-3=0 g(0)=a-2＞0

或

g(1)＜0 g(0)=0.

∴a=3或a=2
∴所求a的取值范圍為[2，3]．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．