Question

已知函數(shù)f（x）=-1+2sinxcosx+2cos²x．
（1）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求f（x）圖象上與原點(diǎn)最近的對稱中心的坐標(biāo)；
（3）若角α，β的終邊不共線，且f（α）=f（β），求tan（α+β）的值．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），由2kπ+≤2x+≤2kπ+（k∈Z），
求得kπ+≤x≤kπ+（k∈Z），∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+，kπ+]（k∈Z）．
（2）由sin（2x+）=0，求得2x+=kπ（k∈Z），即x=-（k∈Z），
∴f（x）圖象上與原點(diǎn)最近的對稱中心的坐標(biāo)是（-，0）．
（3）若角α，β的終邊不共線，且f（α）=f（β），
∴2sin（2α+）=2sin（2β+），
∴2α++2β+=2kπ+π，k∈z，∴α+β=kπ+，故 tan（α+β ）=．
分析：（1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式為2sin（2x+），由2kπ+≤2x+≤2kπ+（k∈Z），求得x的范圍，即可求得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）由sin（2x+）=0，求得2x+=kπ（k∈Z），解得x的值，可得 f（x）圖象上與原點(diǎn)最近的對稱中心的坐標(biāo)．
（3）由題意可得2sin（2α+）=2sin（2β+），故2α++2β+=2kπ+π，k∈z，由此求得 α+β 的值，可得 tan（α+β ）的值．
點(diǎn)評：本題主要考查利用三角恒等變換進(jìn)行化簡求值，復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性與對稱性，屬于中檔題．