Question

19．某個服裝店經(jīng)營某種服裝，在某周內(nèi)獲純利y（元），與該周每天銷售這種服裝件數(shù)x之間的一組數(shù)據(jù)關(guān)系見表：

x	3	4	5	6	7	8	9
y	66	69	73	81	89	90	91

已知$\sum_{i=1}^{7}$x${\;}_{i}^{2}$=280，$\sum_{i=1}^{7}$y${\;}_{i}^{2}$=45309，$\sum_{i=1}^{7}$x_iy_i=3487．參考公式：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}，\hat a=\overline y-\hat b\overline x$．殘差：$\widehat{e}$=y_i-$\widehat{y}$_i
（1）求$\overline{x}$，$\overline{y}$；
（2）在直角坐標(biāo)系上畫出散點圖；
（3）判斷純利y與每天銷售件數(shù)x之間是否線性相關(guān)，如果線性相關(guān)，求出回歸方程（保留兩位小數(shù)）．
（4）如果純利y與每天銷售件數(shù)x之間線性相關(guān)，計算相應(yīng)于點（9，91）的殘差．

Answer 1

分析 （1）利用平均數(shù)公式計算即得．
（2）把所給的7對數(shù)據(jù)寫成對應(yīng)的點的坐標(biāo)，在坐標(biāo)系中描出來，得到散點圖．
（3）作出利用最小二乘法來求線性回歸方程的系數(shù)的量，求出橫標(biāo)和縱標(biāo)的平均數(shù)，求出系數(shù)，再求出a的值，即可求出回歸方程．
（4）x=9時，y=4.75×9+51.36≈94.1，即可求出相應(yīng)于點（9，91）的殘差．

解答 解：（1）$\overline{x}$=$\frac{1}{7}$（3+4+5+6+7+8+9）=6，$\overline{y}$=$\frac{1}{7}$（66+69+73+81+89+90+91）=$\frac{559}{7}$≈79.86；（4分）
（2）把所給的7對數(shù)據(jù)寫成對應(yīng)的點的坐標(biāo)，在坐標(biāo)系中描出來，得到散點圖；                   （2分）

（3）由散點圖知，y與x有線性相關(guān)關(guān)系，（2分）
3×66+4×69+5×73+6×81+7×89+8×90+9×91=3487，3²+4²+5²+6²+7²+8²+9²=280，
∴b=$\frac{3487-7×6×\frac{559}{7}}{280-7×36}$=4.75，（3分）
a=79.86-6×4.75=51.36．（1分）
∴回歸直線方程y=4.75x+51.36．（1分）
（4）x=9時，y=4.75×9+51.36≈94.1
相應(yīng)于點（9，91）的殘差91-94.1=-3.1（12分）

點評 本題考查線性回歸方程的求法和應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是利用最小二乘法做出線性回歸方程的系數(shù)，本題是一個近幾年可能出現(xiàn)在高考卷中的題目．