Question

已知函數(shù)f（x）=log₂

x+1

x-1

+log₂（x-1）+log₂（p-x）．
（1）當p=7時，求函數(shù)f（x）的定義域與值域；
（2）求函數(shù)f（x）的定義域與值域．

Answer 1

分析：（1）確定函數(shù)的定義域，利用對數(shù)的運算性質(zhì)，化簡函數(shù)，再確定內(nèi)函數(shù)的值域，即可求得函數(shù)的值域；
（2）先確定函數(shù)的定義域，再利用對數(shù)的運算性質(zhì)，化簡函數(shù)，分類討論，確定內(nèi)函數(shù)的值域，即可求得函數(shù)的值域．

解答：解：（1）由題意，可得

x+1 x-1 ＞0 x-1＞0 7-x＞0

，∴1＜x＜7
又∵函數(shù)f（x）=log₂

x+1

x-1

+log₂（x-1）+log₂（7-x）=log₂（x+1）（7-x）=log₂[-（x-3）²+16]．
令g（x）=-（x-3）²+16，由于函數(shù)的定義域為{x|1＜x＜7}，則g（7）＜g（x）≤g（3），即0＜g（x）≤16，所以函數(shù)f （x）的值域為（-∞，4]
（2）由題意，可得

x+1 x-1 ＞0 x-1＞0 p-x＞0

，∴x＞1且x＜p
∵函數(shù)的定義域不能為空集，故p＞1，函數(shù)的定義域為（1，p）．
函數(shù)f（x）=log₂

x+1

x-1

+log₂（x-1）+log₂（p-x）=log₂（x+1）（p-x）=log₂[-x²+（p-1）x+p]．
令t=-x²+（p-1）x+p=-(x-

p-1

2

)2+

(p+1)2

4

=g（x）
①當

p-1 2 ＜1 p＞1

，即1＜p＜3時，t在（1，p）上單調(diào)減，g（p）＜t＜g（1），即0＜t＜2p-2，
∴f（x）＜1+log₂（p-1），函數(shù)f（x）的值域為（-∞，1+log₂（p-1））；
②當

1≤ p-1 2 ≤p p＞1

，即p≥3時，g（p）＜t≤g（

p-1

2

），即0＜t≤

(p+1)2

4

，
∴f（x）≤2log₂（p+1）-2，函數(shù)f（x）的值域為（-∞，2log₂（p+1）-2]．
綜上：當1＜p＜3時，函數(shù)f（x）的值域為（-∞，log₂（p-1））；當p≥3時，函數(shù)f（x）的值域為（-∞，2log₂（p+1）-2]．

點評：本題考查導數(shù)函數(shù)，考查函數(shù)的值域，考查分類討論的數(shù)學思想，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的定義域，化簡函數(shù)．