已知定義在[-2，2]上的函數(shù)y=f（x）和y=g（x），其圖象如圖所示：給出下列四個命題：
①方程f[g（x）]=0有且僅有6個根    ②方程g[f（x）]=0有且僅有3個根
③方程f[f（x）]=0有且僅有5個根    ④方程g[g（x）]=0有且僅有4個根
其中正確命題的序號（　�。�
分析：通過f（x）=0可知函數(shù)有三個解，g（x）=0有2個解，具體分析 ①②③④推出正確結(jié)論．
解答：解：由圖象可得-2≤g（x）≤2，-2≤f（x）≤2，
①由于滿足方程f[g（x）]=0 的g（x）有三個不同值，由于每個值g（x）對應了2個x值，
故滿足f[g（x）]=0的x值有6個，即方程f[g（x）]=0有且僅有6個根，故①正確．
②由于滿足方程g[f（x）]=0的f（x）有2個不同的值，從圖中可知，每一個值f（x），
一個f（x）的值在（-2，-1）上，令一個f（x）的值在（0，1）上．
當f（x）的值在（-2，-1）上時，原方程有一個解；f（x）的值在（0，1）上，原方程有3個解．
故滿足方程g[f（x）]=0的x值有4個，故②不正確．
③由于滿足方程f[f（x）]=0的f（x）有3個不同的值，從圖中可知，一個f（x）等于0，
一個f（x）∈（-2，-1），一個f（x）∈（1，2）．
而當f（x）=0對應了3個不同的x值；當f（x）∈（-2，-1）時，只對應一個x值；
當f（x）∈（1，2）時，也只對應一個x值．
故滿足方程f[f（x）]=0的x值共有5個，故③正確．
④由于滿足方程g[g（x）]=0 的g（x）值有2個，而結(jié)合圖象可得，每個g（x）值對應2個不同的x值，
故滿足方程g[g（x）]=0 的x值有4個，即方程g[g（x）]=0有且僅有4個根，故④正確．
故選 D．
點評：本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，函數(shù)的圖象，考查邏輯思維能力及識別圖象的能力，是中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x）同時滿足：
①f(0)=f(
π
4
)=1；②f（m+n）+f（m-n）=2f（m）cos2n+8sin2n（m，n∈R）．
則（1）f(
π
2
+x)+f(x)=
4
4
；
（2）函數(shù)f（x）的最大值是
2+
2
2+
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在[-3，3]上的函數(shù) y=tx-
12
x3，（t為常數(shù)）．
（1）當t∈[2，6]時，求f（x）在[-2，0]上的最小值及取得最小值時的x；
（2）當t≥6時，證明函數(shù)y=f（x）的圖象上至少有一點在直線y=8上．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在[-2，2]上的g（x）為奇函數(shù)，且在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，則滿足g（1-m）＜g（m）的m的取值范圍為
（
1
2
，2]
（
1
2
，2]
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•藍山縣模擬）已知定義在R上的函數(shù)f（x）=asinωx+bcosωx，（ω＞0，a＞0，b＞0）周期為π，f(
π
4
)=
3
，f（x）最大值為2
（1）寫出f（x）的表達式；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-
π
2
，
π
2
]上的單增區(qū)間．

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