Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+ax-2a²+3a）e^x（x∈R），其中a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a≠

2

3

時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=0代入到f（x）中化簡得到f（x）的解析式，求出f'（x），因?yàn)榍�線的切點(diǎn)為（1，f（1）），所以把x=1代入到f'（x）中求出切線的斜率，把x=1代入到f（x）中求出f（1）的值得到切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)切點(diǎn)和斜率寫出切線方程即可；
（Ⅱ）令f'（x）=0求出x的值為x=-2a和x=a-2，分兩種情況討論：①當(dāng)-2a＜a-2時(shí)和②當(dāng)-2a＞a-2時(shí)，討論f'（x）的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性即可得到函數(shù)的最值．

解答：（Ⅰ）解：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x²e^x，f'（x）=（x²+2x）e^x，故f'（1）=3e，
所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率為3e，f（1）=e，
所以該切線方程為y-e=3e（x-1），
整理得：3ex-y-2e=0．
（Ⅱ）解：f'（x）=[x²+（a+2）x-2a²+4a]e^x
令f'（x）=0，解得x=-2a，或x=a-2．由a≠

2

3

知，-2a≠a-2．
以下分兩種情況討論．
①若a＞

2

3

，則-2a＜a-2．當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：
所以f（x）在（-∞，-2a），（a-2，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，在（-2a，a-2）內(nèi)是減函數(shù)．
函數(shù)f（x）在x=-2a處取得極大值f（-2a），且f（-2a）=3ae^-2a．
函數(shù)f（x）在x=a-2處取得極小值f（a-2），且f（a-2）=（4-3a）e^a-2．
②若a＜

2

3

，則-2a＞a-2，當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：
所以f（x）在（-∞，a-2），（-2a，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，在（a-2，-2a）內(nèi)是減函數(shù)
函數(shù)f（x）在x=a-2處取得極大值f（a-2），且f（a-2）=（4-3a）e^a-2，
函數(shù)f（x）在x=-2a處取得極小值f（-2a），且f（-2a）=3ae^-2a．

點(diǎn)評：考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值．靈活運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問題．