Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明n（n+1）（2n+1）能被6整除時(shí)，由歸納假設(shè)推證n=k+1時(shí)命題成立，需將n=k+1時(shí)的原式表示成（　　）

A．k（k+1）（2k+1）+6（k+1）

B．6k（k+1）（2k+1）

C．k（k+1）（2k+1）+6（k+1）²

D．以上都不對

Answer 1

分析：在使用數(shù)學(xué)歸納法證明“n（n+1）（2n+1）能被6整除”的過程中，由n=k時(shí)成立，即“k（k+1）（2k+1）能被6整除”時(shí)，為了使用已知結(jié)論對（k+1）（k+2）（2k+3）進(jìn)行論證，在分解的過程中一定要分析出含k（k+1）（2k+1）+6（k+1）²的情況．

解答：解：假設(shè)n=k時(shí)命題成立．
即：k（k+1）（2k+1）能被6整除．
當(dāng)n=k+1時(shí)，（k+1）（k+2）（2k+3）
=（k+1）（k+2）（2k+1+2）
=（k+1）（k+2）（2k+1）+2（k+1）（k+2）
=k（k+1）（2k+1）+2（k+1）（2k+1）+2（k+1）（k+2）
=k（k+1）（2k+1）+6（k+1）²．
故選：C．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法是證明一個(gè)與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時(shí)成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數(shù)n都成立．