Question

曲線y=x³-2x+1在x=0處的切線與直線mx-y+2m-1=0的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：先求導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x²-2，欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=0處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問(wèn)題解決．又直線2x+y-1=0與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為：A（0，1），B（，0），如圖．利用直線PA與PB的斜率，結(jié)合圖象即可求得切線與直線mx-y+2m-1=0的交點(diǎn)位于第一象限，實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解答：解：f′（x）=3x²-2，f'（0）=-2，f（0）=1（2分）
∴曲線y=f（x）在x=0處的切線方程為y-1=-2（x-0），即2x+y-1=0（4分）
直線mx-y+2m-1=0恒過(guò)定點(diǎn)P（-2，-1）
又直線2x+y-1=0與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為：A（0，1），B（，0），如圖．
∴直線PA與PB的斜率分別為：1和，
為了使得切線與直線mx-y+2m-1=0的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（，1）
故答案為：（，1）．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、直線的交點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．