Question

已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=，過橢圓的右焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知直線l與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，且OP⊥OQ，試探究點(diǎn)O到直線l的距離是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出橢圓的方程及焦距，根據(jù)過橢圓的右焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為，表示出右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程，再根據(jù)離心率的公式得到c與a的比值也代入橢圓方程，化簡后求出b的值，根據(jù)c與a的比值及橢圓的簡單性質(zhì)即可求出c與a的值，把a(bǔ)與b的值代入所設(shè)的橢圓方程確定出解析式；
（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線l的方程及P與Q的坐標(biāo)，把設(shè)出的方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的方程，利用韋達(dá)定理表示出兩根之和與兩根之積，且表示出兩縱坐標(biāo)之積，把表示出的兩根之和與兩根之積代入化簡，由兩向量垂直時(shí)滿足的數(shù)量積為0列出關(guān)系式，把求出的兩根之積與兩縱坐標(biāo)之積代入即可用k表示出m，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出O到直線l的距離d，把表示出的m代入即可求出d的值；當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224701183440912/SYS201311012247011834409020_DA/1.png">⊥，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，設(shè)直線OP，OQ的方程，求出P與Q的坐標(biāo)，求出此時(shí)原點(diǎn)O到直線l的距離，與d相等，綜上，O到直線l的距離為定值，且定值為求出的d．
解答：解：（1）設(shè)橢圓的方程為+=1（a＞b＞0），焦距為2c，
∵e==，且根據(jù)題意可知：點(diǎn)（c，）在橢圓上，
∴+=1，則+=1，解得b=1，
∵a=c，且a²-c²=b²=1，則c=1，a=，
故橢圓方程為：+y²=1；
（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由，消去y得：（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
∴x₁+x₂=-，x₁x₂=，
于是y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224701183440912/SYS201311012247011834409020_DA/19.png">⊥，所以x₁x₂+y₁y₂=+==0，（10分）
即3m²-2k²-2=0，所以m²=，（11分）
設(shè)原點(diǎn)O到直線l的距離為d，則d====，（12分）
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224701183440912/SYS201311012247011834409020_DA/29.png">⊥，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，
不妨設(shè)直線OP，OQ的方程分別為y=x，y=-x，
可得P（，），Q（，-）或P（-，-），Q（-，），
此時(shí)，原點(diǎn)O到直線l的距離仍為，
綜上，點(diǎn)O到直線l的距離為定值．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用待定系數(shù)法求橢圓的方程，考查了分類討論及整體代入的數(shù)學(xué)思想．關(guān)鍵是看清題中給出的條件，靈活運(yùn)用韋達(dá)定理，點(diǎn)到直線的距離公式及平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則進(jìn)行求解．