Question

如圖,已知兩個正四棱錐P—ABCD與Q—ABCD的高分別為1和2,AB=4.

(1)證明PQ⊥平面ABCD;

(2)求異面直線AQ和PB所成的角;

(3)求點P到平面QAD的距離.

Answer 1

解法一：(1)證明:連結(jié)AC、BD,設AC∩BD=O.

因為P—ABCD與Q—ABCD都是正四棱錐,

所以PO⊥平面ABCD,QO⊥平面ABCD.

從而P、O、Q三點在一條直線上.

所以PQ⊥平面ABCD.

(2)解:由題設知,ABCD是正方形,所以AC⊥BD.

由(1),PQ⊥平面ABCD,故可分別以直線CA、DB、QP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(如圖),由題設條件,相關(guān)各點的坐標分別是P(0,0,1),A(,0,0),Q(0,0,-2),B(0,,0).

所以=(-,0,-2), =(0,,-1).

于是cos〈,〉=.

從而異面直線AQ與PB所成的角是arccos.

(3)解:由(2),點D的坐標是(0,-22,0), =(,0), =(0,0,-3).

設n=(x,y,z)是平面QAD的一個法向量.

由

取x=1,得n=(1,-1,).

所以點P到平面QAD的距離d=.

解法二:(1)證明:取AD的中點M,連結(jié)PM、QM.

因為P—ABCD與Q—ABCD都是正四棱錐,

所以AD⊥PM,AD⊥QM.

從而AD⊥平面PQM.

又PQ平面PQM，所以PQ⊥AD.

同理,PQ⊥AB.

所以PQ⊥平面ABCD.

(2)解:連結(jié)AC、BD.

設AC∩BD=O,由PQ⊥平面ABCD及正四棱錐的性質(zhì)可知O在PQ上.

從而P、A、Q、C四點共面.

取OC的中點N,連結(jié)PN.

因為=,

所以.

從而AQ∥PN,∠BPN(或其補角)是異面直線AQ與PB所成的角.

連結(jié)BN.

因為PB=,

PN=,

BN=,

所以cos∠BPN=.

從而異面直線AQ與PB所成的角是arccos.

(3)解:由(1)知,AD⊥平面PQM,

所以平面QAD⊥平面PQM.

過P作PH⊥QM于H,則PH⊥平面QAD.

所以PH的長為點P到平面QAD的距離.

連結(jié)OM.

因為OM=AB=2=OQ,

所以∠MQP=45°.又PQ=PO+QO=3,

于是PH=PQsin45°=,

即點P到平面QAD的距離是.