Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n且對任意正整數(shù)n總有S_n=p（a_n-1）（p為常數(shù)，且p≠0，p≠1），數(shù)列{b_n}滿足
b_n=kn+q（q為常數(shù)）
（1）求數(shù)列{a_n}的首項a₁及通項公式（用p表示）；
（2）若恰好存在唯一實數(shù)p使得a₁=b₁，a₃=b₃，求實數(shù)k的取值的集合．

Answer 1

【答案】分析：（1）先把n=1直接代入求出數(shù)列{a_n}的首項a₁，再利用a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）找到遞推關(guān)系式整理即可求通項公式；
（2）先把已知條件代入整理為，再借助于函數(shù)f（x）=x³-xx≠0且x≠1的圖象來求實數(shù)k的取值的集合．
解答：
解：（1）由題a₁=s₁=p（a₁-1）⇒（p≠0，p≠1），
當(dāng)n≥2時，a_n=s_n-s_n-1=p（a_n-a_n-1）⇒（p-1）a_n=pa_n-1，
即（常數(shù)）．
所以{a_n}是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以 

（2）⇒⇒⇒，
考慮函數(shù)f（x）=x³-xx≠0且x≠1
則f'（x）=3x²-1=3（x+）（x-）
所以f（x）=x³-xx≠0且x≠1，在（-∞，-），（，1），（1，+∞）上為增函數(shù)；
在（-，）上為減函數(shù)；
恰好存在唯一實數(shù)p使得a₁=b₁，a₃=b₃，
只要方程x³-x=2k恰有一個實數(shù)解．
由圖象可知，實數(shù)k的取值的集合為（-∞，-）∪{0}∪（，+∞）．
點評：本題是對數(shù)列的遞推關(guān)系式以及數(shù)列與函數(shù)綜合的考查．本題第二問的關(guān)鍵點在與轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）=x³-xx≠0且x≠1的取值，借助于其圖象來求對應(yīng)實數(shù)k的取值．