已知雙曲線C的中心在坐標原點O,對稱軸為坐標軸,點(-2,0)是它的一個焦點,并且離心率為
2
3
3

(Ⅰ)求雙曲線C的方程;
(Ⅱ)已知點M(0,1),設(shè)P(x0,y0)是雙曲線C上的點,Q是點P關(guān)于原點的對稱點,求
MP
MQ
的取值范圍.
分析:(I)設(shè)雙曲線方程為
x2
a 2
-
y2
b 2
=1
(a>0,b>0),依據(jù)題意,求出a、c、b的值,最后寫出雙曲線的標準方程和漸近線方程.
(Ⅱ)依題意有:Q(-x0,-y0),根據(jù)向量的坐標運算寫出
MP
=(x0,y0-1)
MQ
=(-x0,-y0-1)
從而
MP
MQ
=-x02-y02+1再結(jié)合雙曲線的范圍得出x02≥3,從而求得
MP
MQ
的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)雙曲線方程為
x2
a 2
-
y2
b 2
=1
(a>0,b>0),半焦距c,
依題意得  
c
a
=
2
3
3
c=2
解得a=
3
,b=1,
∴所求雙曲線C的方程為
x2
3
-y2=1

(Ⅱ)依題意有:Q(-x0,-y0),∴
MP
=(x0,y0-1)
,
MQ
=(-x0-y0-1)

MP
MQ
=-x02-y02+1
,又
x 02
3
-y 02=1
,
MP
MQ
=-
4
3
x
2
0
+2
,由
x 02
3
-y 02=1
可得,x02≥3,
MP
MQ
=-
4
3
x
2
0
+2
≤-2故
MP
MQ
的取值范圍x≤-2.
點評:本題考查雙曲線的標準方程,以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用.解答的關(guān)鍵是對雙曲線標準方程的理解和向量運算的應(yīng)用.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知雙曲線C的中心在坐標原點,漸近線方程是3x±2y=0,左焦點的坐標為(-
13
,0)
,A、B為雙曲線C上的兩個動點,滿足
OA
OB
=0.
(Ⅰ)求雙曲線C的方程;
(Ⅱ)求
1
|
OA
|
2
+
1
|
OB
|
2
的值;
(Ⅲ)動點P在線段AB上,滿足
OP
AB
=0,求證:點P在定圓上.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知雙曲線C的中心在原點,焦點在坐標軸上,P(1,-2)是C上的點,且y=
2
x
是C的一條漸近線,則C的方程為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•松江區(qū)二模)已知雙曲線C的中心在原點,D(1,0)是它的一個頂點,
d
=(1,
2
)
是它的一條漸近線的一個方向向量.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若過點(-3,0)任意作一條直線與雙曲線C交于A,B兩點 (A,B都不同于點D),求
DA
DB
的值;
(3)對于雙曲線Γ:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0,a≠b)
,E為它的右頂點,M,N為雙曲線Γ上的兩點(M,N都不同于點E),且EM⊥EN,求證:直線MN與x軸的交點是一個定點.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(理) 在平面直角坐標系中,已知雙曲線C的中心在原點,它的一個焦點坐標為(
5
,0)
,
e1
=(2,1)
、
e2
=(2,-1)
分別是兩條漸近線的方向向量.任取雙曲線C上的點P,其中
op
=m
e1
+n
e2
(m,n∈R),則m,n滿足的一個等式是
4mn=1
4mn=1

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