Question

右圖是一個(gè)直三棱柱（以為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為．已知，，，，．

（1）設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)，證明：平面；

（2）求二面角的大小；

 

Answer 1

【答案】

(1)證明見(jiàn)試題解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）證線面平行，一般根據(jù)線面平行的判定定理，在平面內(nèi)找到一條與平行的直線即可.為此我們?nèi)?img src="http://thumb2018.1010pic.com//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014042004292273433827/SYS201404200430335625976619_DA.files/image004.png">中點(diǎn)D，證明// .（2）要求二面角的大小，一般是先作出二面角的平面角，通過(guò)求這個(gè)平面角來(lái)求出二面角．由于該幾何體的三個(gè)側(cè)面都是直角梯形，易計(jì)算得，，，從而，所以。那么二面角的平面角可以直接在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作，或者作平面，垂足為，連接，由三垂線定理知，就是所作平面角。

試題解析：（1）證明：作交于，連．

則．

因?yàn)?img src="http://thumb2018.1010pic.com//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014042004292273433827/SYS201404200430335625976619_DA.files/image021.png">是的中點(diǎn)，

所以．

則是平行四邊形，因此有．

平面且平面，

則面．

（2）如圖，過(guò)作截面面，分別交，于，．

作于，連．

因?yàn)?img src="http://thumb2018.1010pic.com//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014042004292273433827/SYS201404200430335625976619_DA.files/image038.png">面，所以，則平面．

又因?yàn)?img src="http://thumb2018.1010pic.com//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014042004292273433827/SYS201404200430335625976619_DA.files/image008.png">，，．

所以，根據(jù)三垂線定理知，所以就是所求二面角的平面角．

因?yàn)?img src="http://thumb2018.1010pic.com//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014042004292273433827/SYS201404200430335625976619_DA.files/image046.png">，所以，故，

即：所求二面角的大小為．

考點(diǎn)：（1）線面平行；（2）二面角.