Question

若不等式3cos³x-2cos2x+1≤k對任何x∈R都成立，則實數(shù)k的最小值為（ ）
A．-4
B．
C．2
D．3

Answer 1

【答案】分析：把已知的不等式的左邊第2項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡后，合并并設(shè)為y，則y小于等于k恒成立，即求出y的最大值，y最大值的求法是，求出函數(shù)y的導(dǎo)函數(shù)為0時x的值，再考慮閉區(qū)間的端點值，根據(jù)函數(shù)的增減性得到y(tǒng)的最大值．讓y的最大值小于等于k即可求出k的范圍，進而求出k的最小值，
解答：解：因為3cos³x-2cos2x+1=3cos³x-2（2cos²x-1）+1=3cos³x-4cos²x+3≤k恒成立，
設(shè)y=3x³-4x²+3，x∈[-1，1]，
則y′=9x²-8x=9x（x-），令y′=0，解得x=0或x=，
所以y_max=y（0），y（1）_max=y（0）=3，
則3cos³x-2cos2x+1≤3，即k≥3，所以實數(shù)k的最小值為3．
故選D
點評：此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值，掌握不等式恒成立時所滿足的條件，是一道綜合題．