Question

16．在直角坐標系xoy，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=acost+\sqrt{3}}\\{y=asint}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)，a＞0）．在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線${C_2}：{ρ^2}=2ρsinθ+6$．
（1）說明C₁是哪種曲線，并將C₁的方程化為極坐標方程；
（2）已知C₁與C₂的交于A，B兩點，且AB過極點，求線段AB的長．

Answer 1

分析 （1）由曲線C₁的參數(shù)方程求出C₁的普通方程，從而得到C₁為以C₁（$\sqrt{3}$，0）為圓心，以a為半徑的圓，由ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出C₁的極坐標方程．
（2）法一：${C_1}：{（{x-\sqrt{3}}）^2}+{y^2}={a^2}，{C_2}：{x^2}+{y^2}-2y-6=0$，相減得公共弦方程，由AB過極點，求出公共弦方程為$\sqrt{3}x-y$=0，求出C₂（0，1）到公共弦的距離為d，由此能求出線段AB的長．
法二：由已知得${ρ^2}-2\sqrt{3}ρcosθ+3-{a^2}=0$與ρ²=2ρsinθ+6為ρ的同解方程，從而$a=3，θ=\frac{π}{3}$或θ=$\frac{4π}{3}$．由此能求出線段AB的長．

解答 解：（1）∵曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=acost+\sqrt{3}}\\{y=asint}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)，a＞0）．
∴C₁的普通方程為${（{x-\sqrt{3}}）^2}+{y^2}={a^2}$，
∴C₁為以C₁（$\sqrt{3}$，0）為圓心，以a為半徑的圓，
由ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，得C₁的極坐標方程為${ρ^2}-2\sqrt{3}ρcosθ+3-{a^2}=0$．
（2）解法一：∵曲線${C_2}：{ρ^2}=2ρsinθ+6$．
∴${C_1}：{（{x-\sqrt{3}}）^2}+{y^2}={a^2}，{C_2}：{x^2}+{y^2}-2y-6=0$，
二者相減得公共弦方程為$2\sqrt{3}x-2y+{a^2}-9=0$，
∵AB過極點，∴公共弦方程$2\sqrt{3}x-2y+{a^2}-9=0$過原點，
∵a＞0，∴a=3，∴公共弦方程為$\sqrt{3}x-y$=0，
則C₂（0，1）到公共弦的距離為d=$\frac{|0-1|}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{1}{2}$．
∴$AB=2\sqrt{7-\frac{1}{4}}=3\sqrt{3}$．
解法二：∵AB：θ=θ₀，
∴${ρ^2}-2\sqrt{3}ρcosθ+3-{a^2}=0$與ρ²=2ρsinθ+6為ρ的同解方程，
∴$a=3，θ=\frac{π}{3}$或θ=$\frac{4π}{3}$．
∴$AB=|{{ρ_1}-{ρ_2}}|=\sqrt{3+24}=3\sqrt{3}$．

點評 本題考查曲線是哪門子種曲線的判斷，考查曲線的極坐標方程的求法，考查線段長的求法，考查兩點間距離公式的應用，是中檔題，解題時要認真審題，注意參數(shù)方程、直角坐標方程、極坐標方程互化公式的合理運用．