Question

某油料庫已儲(chǔ)油料a噸，按計(jì)劃正式運(yùn)營后的第一年進(jìn)油量為已儲(chǔ)油量的25％，以后每年的進(jìn)油量為上一年底儲(chǔ)油量的25％，且每年運(yùn)出b噸．設(shè)為正式運(yùn)營第n年底的儲(chǔ)油量．

(Ⅰ)求的表達(dá)式并加以證明；

(Ⅱ)為抵御突發(fā)事件，該油庫年底儲(chǔ)油量不得少于a噸，如果b＝a噸，該油庫能否長期按計(jì)劃運(yùn)營，如果可以請加以證明，如果不行請說明理由．

(取lg2＝0.30，lg3＝0.48)

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)依題意，油庫原有儲(chǔ)油量為a噸，則a1＝a－b， 　　a2＝a1－b＝a－(＋1)b， 　　a3＝a2－b＝a－[＋＋1]b， 　　推測：an＝a－[＋＋…＋＋1]b 　　　　　＝a－4[－1]b　　(n∈N)． 　　用數(shù)學(xué)歸納法證明： 　　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝a－4[－1]b＝a－b，推測成立 　　(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N)時(shí)，ak＝a－4[－1]b成立． 　　當(dāng)n＝k＋1時(shí)，依題意ak+1＝ak－b． 　　∴ak+1＝{a－4[－1]b}－b 　�。�a－4[－]b－b 　　＝a－4[－1]b 　　即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，推測也成立．由(1)(2)知，對于n∈N，推測成立．　　(Ⅱ)如果b＝a噸時(shí)，該油庫第n年年底儲(chǔ)油量不少于a噸，即 　　a－4[－1]·a≥a． 　　即≤3．n≤3＝＝＝＝4.8． 　　說明該油庫只能在5年內(nèi)運(yùn)營，因此不能長期運(yùn)營．