Question

已知函數f（x）=4sinxcos（x+

π

3

）+

3

．
（1）f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

6

]上的最大值和最小值及取得最值時x的值．
（2）若方程f（x）-t=0在x∈[-

π

4

，

π

2

]上有唯一解，求實數t的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,三角函數的最值

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）首先通過三角函數的關系式對函數進行恒等變換，進一步把函數的關系式變形成正弦型函數，進一步利用三角函數的定義域求出函數的最值．
（2）利用（1）的結論，對具有嚴格單調區(qū)間的函數具有唯一解．

解答： 解：（1）f（x）=4sinx(cosxcos

π

3

-sinxsin

π

3

）+

3

=2sinxcosx-2

3

sin2x+

3

=sin2x+

3

cos2x
=2sin(2x+

π

3

) 
因為：-

π

4

≤x≤

π

6

，
所以：-

π

6

≤2x+

π

3

≤

2π

3

所以-

1

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1，
所以-1≤f（x）≤2，
當2x+

π

3

=-

π

6

，
即x=-

π

4

時，f（x）_min=-1，當2x+

π

3

=

π

2

，即：x=

π

12

時，f（x）_max=2，
（2）因為-

π

4

≤x≤

π

12

時，-

π

6

≤2x+

π

3

≤

π

2

，-1≤2sin(2x+

π

3

)≤2
且單調遞增，

π

12

≤x≤

π

2

時，

π

2

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，
所以-

3

≤2sin(2x+

π

3

)≤2，且單調遞減，
所以f（x）=t，有唯一解時對應t的范圍為t∈[-

3

，-1]或t=2

點評：本題考查的知識要點：三角函數關系式的恒等變換，正弦型函數的性質的應用，利用函數的定義域求三角函數的值域，最值的應用，單調性的應用，屬于基礎題型．