精英家教網(wǎng)如圖，在直角坐標系xOy中，已知橢圓C：
y2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，左右兩個焦分別為F1、F2．過右焦點F2且與軸垂直的
直線與橢圓C相交M、N兩點，且|MN|=1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設橢圓C的左頂點為A，下頂點為B，動點P滿足
PA
•
AB
=m-4，（m∈R）試求點P的軌跡方程，使點B關于該軌跡的對稱點落在橢圓C上．
分析：（Ⅰ）利用橢圓的定義和簡單性質，求出a 和b2的值，即得橢圓的標準方程．
（Ⅱ）設點P的坐標為（x，y），由
PA
•
AB
=m-4，求得 y=2x+m，求出點B關于P的軌跡的對稱點B′的坐標，并代入橢圓方程，解出 m值，即得點P的軌跡方程．
解答：解：（Ⅰ）由題意可得|MF2|=
1
2
，由橢圓的定義得：|MF1|+
1
2
=2a．
∵|MF1|2=4c2+
1
4
，∴(2a-
1
2
)2=4c2+
1
4
，又 e=
3
2
得 c2=
3
4
a2，
∴4a2-2a=3a2，∴a=2．
∴b2=a2-c2=
a2
4
=1，∴所求橢圓C的方程為 
x2
4
+y2=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知點A（-2，0），點B為（0，-1），設點P的坐標為（x，y），
則
PA
=（-2-x，-y），
AB
=（2，-1），由
PA
•
AB
=m-4 得-4-2x+y=m-4，
∴點P的軌跡方程為 y=2x+m．
設點B關于P的軌跡的對稱點為B′（x0，y0），則由軸對稱的性質可得：
y0+1
x0
=-
1
2
，
y0-1
2
=2•
x0
2
+m，
解得：x0=
-4-4m
5
，y0=
2m-3
5
，∵B′（x0，y0） 在橢圓上，
∴(
-4-4m
5
)2+4(
2m-3
5
)2=4，整理得 2m2-m-3=0解得 m=-1或 m=
3
2
．
∴點P的軌跡方程為 y=2x-1或 y=2x+
3
2
，經檢驗  y=2x-1和 y=2x+
3
2
，都符合題設，
∴滿足條件的點P的軌跡方程為 y=2x-1，或 y=2x+
3
2
．
點評：本題考查橢圓的定義、標準方程和簡單性質，求點的軌跡方程的方法，利用橢圓的對稱性求出m值是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•杭州二模）如圖，在直角坐標系xOy中，銳角△ABC內接于圓x2+y2=1．已知BC平行于x軸，AB所在直線方程為y=kx+m（k＞0），記角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．
（1）若3k=
2ac
a2+c2-b2
，求cos2
A+C
2
+sin2B的值；
（2）若k=2，記∠xOA=α(0＜α＜
π
2
)，∠xOB=β(π＜β＜
3π
2
)，求sin(α+β)的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在直角坐標系中，中心在原點，焦點在X軸上的橢圓G的離心率為e=
15
4
，左頂點A（-4，0），圓O'：（x-2）2+y2=r2是橢圓G的內接△ABC的內切圓．
（Ⅰ） 求橢圓G的方程；
（Ⅱ）求圓O'的半徑r；
（Ⅲ）過M（0，1）作圓G的兩條切線交橢圓于E，F(xiàn)兩點，判斷直線EF與圓O'的位置關系，并證明．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•石景山區(qū)二模）如圖，在直角坐標系xOy中，角α的頂點是原點，始邊與x軸正半軸重合，終邊交單位圓于點A，且α∈(
π
6
，
π
2
)．將角α的終邊按逆時針方向旋轉
π
3
，交單位圓于點B．記A（x1，y1），B（x2，y2）．
（Ⅰ）若x1=
1
3
，求x2；
（Ⅱ）分別過A，B作x軸的垂線，垂足依次為C，D．記△AOC的面積為S1，△BOD的面積為S2．若S1=2S2，求角α的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在直角坐標系xOy中，角α的頂點是原點，始邊與x軸正半軸重合，終邊交單位圓于點A，且α∈(
π
3
，
π
2
)．將角α的終邊按逆時針方向旋轉
π
6
，交單位圓于點B．記A（x1，y1），B（x2，y2）．
（Ⅰ）若x1=
1
4
，求x2； 
（Ⅱ）分別過A，B作x軸的垂線，垂足依次為C，D．記△AOC的面積為S1，△BOD的面積為S2．若S1=S2，求角α的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在直角坐標系中，已知射線OA：x-y=0（x≥0），OB：
3
x+3y=0（x≥0），過點P（a，0）（a＞0）作直線l分別交射線OA，OB于A，B兩點，且
AP
=2
PB
，則直線l的斜率為
 
．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案