Question

6．已知定義域?yàn)镽的二次函數(shù)的最小值為0，且有f（1+x）=f（1-x），直線g（x）=4（x-1）的圖象與f（x）的圖象交于兩點(diǎn)，兩點(diǎn)間的距離為$4\sqrt{17}$，數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，$（{a_{n+1}}-{a_n}）\;•\;g（{a_n}）+f（{a_n}）=0\;（n∈{N^*}）$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求證數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列；
（3）設(shè)b_n=3f（a_n）-g（a_n+1），求數(shù)列{b_n}的最小值及相應(yīng)的n．

Answer 1

分析 （1）由對(duì)稱軸及具有最小值可使用待定系數(shù)法求出；
（2）根據(jù)已知條件求出遞推公式，證明$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n}-1}$為定值；
（3）寫出b_n的通項(xiàng)公式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解．

解答 解：（1）∵f（1+x）=f（1-x），∴f（x）的對(duì)稱軸為x=1．
又f（x）的最小值為0，故可設(shè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式為f（x）=a（x-1）²（a＞0）．
解方程組$\left\{{\begin{array}{l}{y=4（x-1）}\\{y=a{{（x-1）}^2}}\end{array}}\right.$得兩函數(shù)的交點(diǎn)為 $（1，0），\;\;（\frac{4}{a}+1，\frac{16}{a}）$，
∴$\sqrt{{{（\frac{4}{a}）}^2}+{{（\frac{16}{a}）}^2}}=4\sqrt{17}$，解得：a=1．
∴f（x）=（x-1）²．
（2）由（1）知：$f（a_n^{\;}）={（{a_n}-1）^2}，g（{a_n}）=4（{a_n}-1）$，
∵（a_n+1-a_n）•g（a_n）+f（a_n）=0
∴$（{a_{n+1}}-{a_n}）•4（{a_n}-1）+{（{a_n}-1）^2}=0$，即（a_n-1）（4a_n+1-3a_n-1）=0．
由a₁=2可知a_n≠1，∴4a_n+1-3a_n-1=0，${a_{n+1}}-1=\frac{3}{4}（{a_n}-1）$，
∴{a_n-1}是首項(xiàng)為a₁-1=1，公比為$\frac{3}{4}$的等比數(shù)列．
（3）由（2）知${a_n}-1={（\frac{3}{4}）^{n-1}}，即{a_n}={（\frac{3}{4}）^{n-1}}+1$，${b_n}=3f（{a_n}）-g（{a_{n+1}}）=3（{a_n}-1{）^2}-4（{a_{n+1}}-1）=3{[{（\frac{3}{4}）^{n-1}}]^2}-3{（\frac{3}{4}）^{n-1}}$=$3{[{（\frac{3}{4}）^{n-1}}-\frac{1}{2}]^2}-\frac{3}{4}$．
因?yàn)閚∈N^*，所以${（\frac{3}{4}）^{n-1}}的值分別為1，\frac{3}{4}，\frac{9}{16}，\frac{27}{64}，…經(jīng)過(guò)比較\frac{9}{16}距離\frac{1}{2}最近$，
所以當(dāng)n=3時(shí)，b_n有最小值$-\frac{189}{256}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系，等比數(shù)列的判定，函數(shù)的最值．