Question

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是橢圓，（a＞b＞0）上的兩點，已知向量=（，），=（，），且，若橢圓的離心率，短軸長為2，O為坐標(biāo)原點：
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線AB過橢圓的焦點F（0，c），（c為半焦距），求直線AB的斜率k的值；
（Ⅲ）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)題意可求得b，進(jìn)而根據(jù)離心率求得a和c，則橢圓的方程可得．
（Ⅱ）設(shè)出直線AB的方程，與橢圓方程聯(lián)立消去y，表示出x₁+x₂和x₁x₂，利用建立方程求得k．
（Ⅲ）先看當(dāng)直線的斜率不存在時，可推斷出x₁=x₂，y₁=-y₂，根據(jù)=0求得x₁和y₁的關(guān)系式，代入橢圓的方程求得|x₁|和|y₁|求得三角形的面積；再看當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)出直線AB的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，利用=0求得2b²-k²=4，最后利用弦長公式和三角形面積公式求得答案．
解答：解：（Ⅰ）2b=2．b=1，e=
橢圓的方程為
（Ⅱ）由題意，設(shè)AB的方程為y=kx+

由已知=0得：
=
，解得k=±
（Ⅲ）（1）當(dāng)直線AB斜率不存時，即x₁=x₂，y₁=-y₂，
由=0
又A（x₁，y₁）在橢圓上，所以
S=
所以三角形的面積為定值
（2）當(dāng)直線AB斜率存在時，設(shè)AB的方程為y=kx+b
得到x₁+x₂=
代入整理得：
2b²-k²=4
=
所以三角形的面積為定值
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．設(shè)直線方程的時候，一定要考慮斜率不存在時的情況，以免有所遺漏．