Question

已知函數(shù)f(x)=lnx+ax+

a+1

x

-1．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（2）當(dāng)-

1

2

≤a≤0時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，直接求出f′（x）從而確定f（2）和f′（2），利用點(diǎn)斜式方程即可求出切線方程；
（2）分情況討論a=0，-

1

2

＜a＜0，a=-

1

2

三種情況下f′（x）的正負(fù)，即可確定f（x）的單調(diào)性．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=lnx+x+

2

x

-1，
此時(shí)f′(x)=

1

x

+1-

2

x2

f′(2)=

1

2

+1-

2

4

=1，
又f(2)=ln2+2+

2

2

-1=ln2+2，
∴切線方程為：y-（ln2+2）=x-2，
整理得：x-y+ln2=0； 
（2）f′(x)=

1

x

+a-

1+a

x2

=

ax2+x-a-1

x2

=

(ax+a+1)(x-1)

x2

，
當(dāng)a=0時(shí)，f′(x)=

x-1

x2

，
此時(shí)，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增； 
當(dāng)-

1

2

≤a＜0時(shí)，f′(x)=

a(x+ 1+a a )(x-1)

x2

，
當(dāng)-

1+a

a

=1，即a=-

1

2

時(shí)，
f′(x)=-

(x-1)2

2x2

≤0在（0，+∞）恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減； 
當(dāng)-

1

2

＜a＜0時(shí)，-

1+a

a

＞1，
此時(shí)在（0，1），(-

1+a

a

，+∞)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
f（x）在(1，

1-a

a

)，f′（x）＞0單調(diào)遞增； 
綜上所述：
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）在（0，1）單調(diào)遞減，f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增；
當(dāng)-

1

2

＜a＜0時(shí)，f（x）在(0，1)，(

1-a

a

，+∞)單調(diào)遞減，f（x）在(1，

1-a

a

)單調(diào)遞增；
當(dāng)a=-

1

2

時(shí)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和曲線切線的求法，考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的作用，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．