已知數(shù)列的各項均為整數(shù)，其前6項依次構成等比數(shù)列，且從第5項起依次構成等差數(shù)列．

（1）設數(shù)列的前項和為，且，．

①求滿足的的最小值；

②是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

（2）設數(shù)列的前6項均為正整數(shù)，公比為，且，求的最小值．

（1）①設數(shù)列的前6項等比數(shù)列的公比為，從第5項起等差數(shù)列的公差為d．

由，，則；

又，解得或（舍，因為為整數(shù)），

所以，．故．……2分

所以…………4分

∵  ∴  由得

所以，滿足的的最小值為18．……………………………6分

②假設存在正整數(shù)，使得成立，

即     由或得

所以，存在正整數(shù)，使得成立．…………………10分

（Ⅱ）設，由，…，都是正整數(shù)，則必為有理數(shù)．

設，其中s，r都是正整數(shù)，且，，則．

由，得，所以是的整數(shù)倍．

因此，．……………14分

當，時，即，時，取到最小值243．……16分

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，表示該數(shù)列前項的和，且對任意正整數(shù)，恒有，設

（1）      求數(shù)列的通項公式；

（2）      證明：無窮數(shù)列為遞增數(shù)列；

（3）是否存在正整數(shù)，使得對任意正整數(shù)恒成立，若存在，求出的最小值。

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年陜西省高三高考模擬考試（八）文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，為其前項和，對于任意的，滿足關系式

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）設數(shù)列的通項公式是，前項和為，求證：對于任意的正整數(shù)n，總有

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年廣東省高三11月月考文科數(shù)學試卷 題型：解答題

（本小題滿分14分）

當均為正數(shù)時，稱為的“均倒數(shù)”．已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，且其前項的“均倒數(shù)”為．

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）設，試比較與的大��；

（3）設函數(shù)，是否存在最大的實數(shù)，使當時，對于一切正整數(shù)，都有恒成立？

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年北京市西城區(qū)高三一模試卷數(shù)學（理科） 題型：填空題

已知數(shù)列的各項均為正整數(shù)，對于，有

當時，______；

若存在，當且為奇數(shù)時，恒為常數(shù)，則的值為______.

 

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