【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為F,過(guò)F的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),則下列命題中正確的個(gè)數(shù)為( )
①面積的最小值為4;
②以為直徑的圓與x軸相切;
③記,,的斜率分別為,,,則;
④過(guò)焦點(diǎn)F作y軸的垂線與直線,分別交于點(diǎn)M,N,則以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn).
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【解析】
依次判斷每個(gè)選項(xiàng):的斜率為0時(shí),,所以①錯(cuò)誤,計(jì)算②正確,證明,所以③正確,根據(jù)等式令,得或3,所以④正確,得到答案.
當(dāng)的斜率為0時(shí),,所以①錯(cuò)誤.
設(shè)的中點(diǎn)為E,作軸交x軸于點(diǎn)G,作準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于點(diǎn)D,交x軸于點(diǎn)C,則,又,
所以,所以②正確.
直線的方程為,聯(lián)立,得.設(shè),,則,,所以,所以③正確.
直線,所以.同理可得.所以以為直徑的圓的方程為,即.
令,得或3,所以④正確.
故選:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義:若一個(gè)函數(shù)存在極大值,且該極大值為負(fù)數(shù),則稱(chēng)這個(gè)函數(shù)為“函數(shù)”.
(1)判斷函數(shù)是否為“函數(shù)”,并說(shuō)明理由;
(2)若函數(shù)是“函數(shù)”,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)已知,,、,求證:當(dāng),且時(shí),函數(shù)是“函數(shù)”.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知四棱錐的底面是菱形,,平面,,與平面所成的角為,點(diǎn)為的中點(diǎn).
(1)求證:平面平面;
(2)求二面角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),若,求的取值范圍;
(2)若定義在上奇函數(shù)滿(mǎn)足,且當(dāng)時(shí),,求在上的解析式;
(3)對(duì)于(2)中的,若關(guān)于的不等式在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),且).以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知點(diǎn)P的極坐標(biāo)為,Q為曲線上的動(dòng)點(diǎn),求的中點(diǎn)M到曲線的距離的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為6,焦距為10,右焦點(diǎn)為,則下列結(jié)論正確的是( )
A.的漸近線上的點(diǎn)到距離的最小值為4B.的離心率為
C.上的點(diǎn)到距離的最小值為2D.過(guò)的最短的弦長(zhǎng)為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,是正方體的棱的中點(diǎn),下列命題中真命題是( )
A.過(guò)點(diǎn)有且只有一條直線與直線都相交
B.過(guò)點(diǎn)有且只有一條直線與直線都垂直
C.過(guò)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線都相交
D.過(guò)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線都平行
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,是等邊三角形,,,為三棱錐外一點(diǎn),且為等邊三角形.
證明:;
若平面平面,平面與平面所成銳二面角的余弦值為,求的長(zhǎng).
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