Question

若橢圓C：的離心率e為, 且橢圓C的一個焦點與拋物線y²＝－12x的焦點重合．
(1) 求橢圓C的方程；
(2) 設點M(2,0), 點Q是橢圓上一點, 當|MQ|最小時, 試求點Q的坐標；
(3) 設P(m,0)為橢圓C長軸（含端點）上的一個動點, 過P點斜率為k的直線l交橢圓與
A,B兩點, 若|PA|²＋|PB|²的值僅依賴于k而與m無關, 求k的值．

Answer 1

（1）
（2）(5,0)
（3）k＝±．

試題分析：解：（1）∵依題意a=5,c=3∴橢圓C的方程為：      2¢
（2）設Q(x,y), －5≤x≤5
∴
∵對稱軸
∴當x＝5時, |MQ|²達到最小值,
∴當|MQ|最小時, Q的坐標為(5,0)                     ·6¢
（3）設A(x₁,y₁), B(x₂,y₂), P(m,0)(－5≤m≤5), 直線l：y＝k(x－m)
由
得,  8¢
∴y₁＋y₂＝k(x₁－m)＋k(x₂－m)＝k(x₁＋x₂)－2km＝
y₁y₂＝k²(x₁－m)(x₂－m)＝k²x₁x₂－k²m(x₁＋x₂)＋k²m²＝·   10¢
∴
＝(x₁＋x₂)²－2x₁x₂－2a(x₁＋x₂)＋(y₁＋y₂)²－2y₁y₂－2y₁y₂＋2a²
＝    -12分
∵|PA|²＋|PB|²的值僅依賴于k而與m無關
∴512－800k²＝0∴k＝±．     13¢
點評：主要是考查了直線與橢圓的運用，屬于中檔題。