定義f（M）=（m，n，p），其中M是△ABC內(nèi)一點，m，n，p分別是△MBC，△MCA，△MAB的面積，已知在△ABC中，
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，f(M)=(
1
2
，x，y)，則
1
x
+
4
y
的最小值是
18
18
．
分析：先利用條件確定x，y的關(guān)系式為2x+2y=1，然后利用基本不等式求最小值．注意1的等價代換．
解答：解：因為在△ABC中，
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，所以|
AC
|?|
AB
|cos?30?=2
3
，即|
AC
|?|
AB
|=4．
所以S△ABC=
1
2
|
AC
|?|
AB
|sin30?=
1
2
×4×
1
2
=1，由
f(M)=(
1
2
，x，y)，得x+y=
1
2
．即2x+2y=1．
所以
1
x
+
4
y
=(
1
x
+
4
y
)(2x+2y)=10+
2y
x
+
8x
y
≥10+2
2y
x
?
8x
y
=10+8=18，
當且僅當
2y
x
=
8x
y
，即y2=4x2時取等號，
所以
1
x
+
4
y
的最小值是18．
故答案為：18．
點評：本題考查了基本不等式的應(yīng)用，先通過新定義建立x，y的關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵，在解題過程中，要注意“1”的代換．
練習冊系列答案
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A.20              B.18                  C.16                 D.14

 

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A．（1）和（4）
B．（2）和（3）
C．（1）和（3）
D．（2）和（4）

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