Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+bx（a，b∈R）在點（1，f（1））處的切線方程為x-2y-2=0．
（1）求a，b的值；
（2）當(dāng)x＞1時，f（x）+

k

x

＜0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）證明：當(dāng)n∈N^*，且n≥2時，

1

2ln2

+

1

3ln3

+…+

1

nlnn

＞

3n2-n-2

2n2+2n

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用函數(shù)在點（1，f（1））處的導(dǎo)數(shù)值即曲線的斜率及點在曲線上求得a，b的值；
（2）當(dāng)x＞1時，f（x）+

k

x

＜0恒成立，等價于k＜0.5x²-xlnx，構(gòu)造函數(shù)，求最值，即可求實數(shù)k的取值范圍；
（3）證明

1

xlnx

＞

2

x2-1

=

1

x-1

-

1

x+1

，把x=1，2，…n分別代入上面不等式，并相加得結(jié)論．

解答： （1）解：∵f（x）=alnx+bx，∴f′（x）=

a

x

+b．
∵直線x-2y-2=0的斜率為0.5，且過點（1，-0.5），…（1分）
∴f（1）=-0.5，f′（1）=0.5
解得a=1，b=-0.5．…（3分）
（2）解：由（1）得f（x）=lnx-0.5x．
當(dāng)x＞1時，f（x）+

k

x

＜0恒成立，等價于k＜0.5x²-xlnx．…（4分）
令g（x）=0.5x²-xlnx，則g′（x）=x-1-lnx．…（5分）
令h（x）=x-1-lnx，則h′（x）=

x-1

x

．
當(dāng)x＞1時，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
故h（x）＞h（1）=0…（6分）
從而，當(dāng)x＞1時，g′（x）＞0，即函數(shù)g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
故g（x）＞g（1）=0.5．…（7分）
∴k≤0.5．…（9分）
（3）證明：由（2）得，當(dāng)x＞1時，lnx-0.5x+

1

2x

＜0，可化為xlnx＜

x2-1

2

，…（10分）
又xlnx＞0，
從而，

1

xlnx

＞

2

x2-1

=

1

x-1

-

1

x+1

．…（11分）
把x=2，…n分別代入上面不等式，并相加得，

1

2ln2

+

1

3ln3

+…+

1

nlnn

＞1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n+1

=1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

=

3n2-n-2

2n2+2n

．…（14分）

點評：本題屬導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題，考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查不等式的證明，有難度．