設定義在R上的函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d滿足:①函數(shù)f(x)的圖象過點P(3,-6);②函數(shù)f(x)在x1、x2處取得極值,且|x1-x2|=4;③函數(shù)y=f(x-1)的圖象關于點(1,0)對稱.
(1)求f(x)的表達式;
(2)若α,β∈R,求證:|f(2cosα)-f(2sinβ)|≤
643
;
(3)求過點P(3,-6)與函數(shù)f(x)的圖象相切的直線方程.
分析:(1)由③知,函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù),則得f(x)=ax3+cx,即得f′(x)=3ax2+c,令f′(x)=0且由②得到|x1-x2|=2
-
c
3a
=4
,再由條件①,即可得到關于參數(shù)的方程組,解出即得表達式;
(2)由(1)知,若令f′(x)=2x2-8=0得x=±2,進而得到y(tǒng)=f(x)在[-2,2]上單調(diào)遞減再由2cosα,2sinβ的范圍,即得證|f(2cosα)-f(2sinβ)|≤f(-2)-f(2)=
64
3
;
(3)由(1)知,f′(x)=2x2-8,設切點坐標為(x0,
2
3
x03-8x0)
,得到切線方程,由于切線過P(3,-6),則可解得x0=3,x0=-
3
2
,進而過點P(3,-6)與函數(shù)f(x)的圖象相切的切線方程.
解答:解:(1)∵y=f(x-1)關于(1,0)對稱
∴y=f(x)關于(0,0)對稱
∴函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)
∴b=0,d=0,∴f(x)=ax3+cx
f′(x)=3ax2+c,令f′(x)=0得x=±
-
c
3a

|x1-x2|=2
-
c
3a
=4

∴12a=-c①
又∵-6=27a+3c②
∴由①②解得a=
2
3
,c=-8

f(x)=
2
3
x3-8x
…(5分)
(2)由f′(x)=2x2-8=0得x=±2
∴y=f(x)在[-2,2]上單調(diào)遞減
∵-2≤2cosx≤2,-2≤2sinx≤2
|f(2cosα)-f(2sinβ)|≤f(-2)-f(2)=
64
3
…(9分)
(3)∵f′(x)=2x2-8
設切點坐標為(x0,
2
3
x03-8x0)

∴切線方程為y-(
2
3
x03-8x0)=(2x02-8)(x-x0)

∵切線過P(3,-6)
-6-(
2
3
x03-8x0)=(2x02-8)(3-x0)

解之得x0=3,x0=-
3
2

∴過點P(3,-6)與函數(shù)f(x)的圖象相切的切線方程為:10x-y-36=0或7x+2y-9=0…(14分)
點評:熟練掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、切線方程、函數(shù)的奇偶性等是解題的關鍵.
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設定義在R上的函數(shù)f(x)=
1
x-2
(x>2)
1
2-x
(x<2)
1(x=2)
,若關于x的方程f2(x)+af(x)+b=3有且只有3個不同實數(shù)解x1、x2、x3,且x1<x2<x3,則x12+x22+x32=
 

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2
2
;f(2011)=
3
2
3
2

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(2013•順義區(qū)二模)設定義在R上的函數(shù)f(x)是最小正周期為2π的偶函數(shù),f′(x)是f(x)的導函數(shù).當x∈[0,π]時,0<f(x)<1;當x∈(0,π)且x≠
π
2
時,(x-
π
2
)f′(x)<0
.則函數(shù)y=f(x)-cosx在[-3π,3π]上的零點個數(shù)為
6
6

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π
2
-x
)=f(
π
2
+x
),當x∈[-
π
2
,
π
2
]
時,0<f(x)<1;當x∈(-
π
2
π
2
)
且x≠0時,x•f′(x)<0,則y=f(x)與y=cosx的圖象在[-2π,2π]上的交點個數(shù)是( 。

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πx
2
+m(其中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù),m是常數(shù)).記f(x)在區(qū)間[2013,2016]上的零點個數(shù)為n,則( 。
A、m=-
1
2
,n=6
B、m=1-e,n=5
C、m=-
1
2
,n=3
D、m=e-1,n=4

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