Question

已知函數(shù)，其中a＞0．
（1）、若x=1是y=f（x）的一個極值點，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（2）、若曲線y=f（x）與x軸有3個不同交點，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）的解析式，求出f（x）的導函數(shù)，根據(jù)x=1是f（x）的一個極值點，把x=1代入導函數(shù)中，得到的導函數(shù)值為0，列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，把a的值代入到f（x）及導函數(shù)中，分別確定出f（x）和導函數(shù)得解析式，把x=2代入f（x）中求出f（2）即為切點的縱坐標，從而確定出切點坐標，把x=2代入到導函數(shù)中求出的導函數(shù)值即為切線的斜率，由切點與斜率寫出切線方程即可；
（2）令導函數(shù)小于0求出x的取值范圍即為函數(shù)的遞減區(qū)間，令導函數(shù)大于0求出x的取值范圍即為函數(shù)的遞增區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極大值與極小值，要使函數(shù)圖象與x軸有3個不同的交點，即要極小值小于0，列出關于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范圍．
解答：解：（1）∵函數(shù)，
∴f′（x）=3ax²-3x，
∵x=1是y=f（x）的一個極值點，∴f′（1）=3a-3=0，∴a=1，
∴，f′（x）=3x²-3x，
∴f（2）=2³-×2²+1=3，f′（2）=3×2²-3×2=6，
∴在點（2，3）處的切線方程為y-3=6（x-2），即6x-y-9=0；
（2）設f′（x）=3ax²-3x＜0，則0＜x＜，
設f′（x）=3ax²-3x＞0，則x＜0或x＞，
故y=f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（-∞，0）∪（，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當x=0時，f（x）有極大值為1，當x=時，f（x）有極小值為1-，
要使圖象與x軸有3個不同交點，則1-＜0，∴0＜a＜．
點評：此題考查了利用導數(shù)研究曲線上過某點的切線方程，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值．要求學生理解切點橫坐標對應的導函數(shù)值為切線方程的斜率，及導函數(shù)得正負決定函數(shù)的增減性．